东南大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．（10 分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j}$ 不全为零，$\displaystyle A_{i j}$ 表示其代数余子式，且满足 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2, \cdots)$ ．证明：$A$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用条件得到伴随矩阵的关系
由条件 $a_{ij} + A_{ij} = 0$ 对所有 $i,j$ 成立，得 $A_{ij} = -a_{ij}$。伴随矩阵 $A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $A_{ji}$，因此 $A^* = (A_{ji}) = (-a_{ji}) = -A^T$。
公式：$A^* = -A^T$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的元素是代数余子式的转置。
步骤 2/5
目标：利用矩阵性质建立方程
根据矩阵性质，$A A^* = A^* A = \det(A) I_n$。代入 $A^* = -A^T$ 得 $A(-A^T) = \det(A) I_n$，即 $-A A^T = \det(A) I_n$，所以 $A A^T = -\det(A) I_n$。
公式：$A A^T = -\det(A) I_n$
提示：注意负号的处理，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：对方程两边取行列式
对 $A A^T = -\det(A) I_n$ 两边取行列式：左边 $\det(A A^T) = \det(A) \det(A^T) = (\det(A))^2$，右边 $\det(-\det(A) I_n) = (-\det(A))^n$。因此得到 $(\det(A))^2 = (-1)^n (\det(A))^n$。
公式：$(\det(A))^2 = (-1)^n (\det(A))^n$
提示：注意行列式的性质：$\det(kA) = k^n \det(A)$。
步骤 4/5
目标：分析行列式为零的可能性
若 $\det(A) = 0$，则代入 $A A^T = -\det(A) I_n$ 得 $A A^T = 0$。设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$，则 $A A^T$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 $\alpha_i \alpha_i^T = \|\alpha_i\|^2 = 0$，故每个行向量均为零向量，从而 $A = 0$，与 $A$ 非零矛盾。因此 $\det(A) \neq 0$。
提示：注意 $A A^T = 0$ 意味着每个行向量的模为零，从而行向量为零。
步骤 5/5
目标：结论
由于 $\det(A) \neq 0$，矩阵 $A$ 可逆。
提示：可逆的充要条件是行列式非零。
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