中国人民大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n$ ，证明：$A$ 可写成 $\displaystyle n-r$ 个秩为 $\displaystyle n-1$ 的 $n$ 阶矩阵的乘积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用秩分解将A化为标准形
由于 $\operatorname{rank}(A)=r
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆矩阵，且 $r
步骤 2/8
目标：构造秩为n-1的矩阵序列
对 $k=1,2,\dots,n-r$，定义 $C_k = \begin{pmatrix} I_{r+k-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{n-r-k} \end{pmatrix}$，其中 $C_k$ 是 $n$ 阶矩阵。每个 $C_k$ 的秩为 $(r+k-1)+(n-r-k)=n-1$。
公式：C_k = \begin{pmatrix} I_{r+k-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{n-r-k} \end{pmatrix}
提示：注意 $C_k$ 是分块对角矩阵，且 $k$ 从1到 $n-r$。
步骤 3/8
目标：验证乘积等于B
计算乘积 $C_1 C_2 \cdots C_{n-r}$。由于这些矩阵都是对角分块矩阵且乘法可交换，乘积为 $\prod_{k=1}^{n-r} C_k = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = B$。
公式：\prod_{k=1}^{n-r} C_k = B
提示：注意乘法顺序不影响结果，因为矩阵可交换。
步骤 4/8
目标：将A表示为乘积形式
于是 $A = P B Q = P (C_1 C_2 \cdots C_{n-r}) Q$。我们需要将 $A$ 写成 $n-r$ 个秩为 $n-1$ 的矩阵的乘积。
公式：A = P (C_1 C_2 \cdots C_{n-r}) Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是固定的可逆矩阵。
步骤 5/8
目标：构造前n-r-1个因子
对 $k=1,\dots,n-r-1$，令 $E_k = P C_k P^{-1}$，则 $E_k$ 与 $C_k$ 相似，秩为 $n-1$。
公式：E_k = P C_k P^{-1}
提示：相似变换不改变秩。
步骤 6/8
目标：构造最后一个因子
令 $E_{n-r} = P \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，则 $E_{n-r}$ 的秩为 $n-1$。
公式：E_{n-r} = P \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意最后一个矩阵的构造，确保秩为 $n-1$。
步骤 7/8
目标：验证乘积等于A
计算 $E_1 E_2 \cdots E_{n-r}$：
$E_1 E_2 \cdots E_{n-r} = P C_1 P^{-1} \cdot P C_2 P^{-1} \cdots P C_{n-r-1} P^{-1} \cdot P \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
$= P (C_1 C_2 \cdots C_{n-r-1}) \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
$= P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = A$。
公式：E_1 E_2 \cdots E_{n-r} = A
提示：注意中间 $P^{-1}P$ 消去，且 $C_1\cdots C_{n-r-1} \begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = B$。
步骤 8/8
目标：总结结论
因此，$A$ 可表示为 $n-r$ 个秩为 $n-1$ 的 $n$ 阶矩阵 $E_1, E_2, \dots, E_{n-r}$ 的乘积。
提示：注意 $n-r$ 个因子中每个秩均为 $n-1$。
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