中国人民大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ．
（1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵．
（2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造可逆矩阵P
由于$A$可逆，考虑分块矩阵的合同变换。令$P = \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix}$，则$P$可逆，因为其行列式为1。
公式：P = \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix}
提示：注意$A$可逆是构造$P$的前提，否则$A^{-1}$不存在。
步骤 2/5
目标：计算$P^{\mathrm{T}} X P$
先计算$X P$：$X P = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -A A^{-1}B + B \\ C & -C A^{-1}B + D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$。再左乘$P^{\mathrm{T}}$：$P^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -B^{\mathrm{T}} A^{-\mathrm{T}} & I \end{pmatrix}$，由$A$对称得$A^{-\mathrm{T}} = A^{-1}$，且$B^{\mathrm{T}} = C$，故$P^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{pmatrix}$。于是$P^{\mathrm{T}} X P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - C A^{-1}B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}$。
公式：P^{\mathrm{T}} X P = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1}B \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法顺序，以及$A^{-\mathrm{T}}$与$A^{-1}$的关系。
步骤 3/5
目标：证明分块对角化
由上述计算，$P^{\mathrm{T}} X P$为分块对角矩阵，其中左上块为$A$，右下块为$S = D - C A^{-1}B$。因此存在可逆矩阵$P$使得$P^{\mathrm{T}} X P$为分块对角矩阵。
提示：合同变换不改变矩阵的对称性，但此处$X$不一定对称，不过题目条件$B^{\mathrm{T}}=C$保证了$X$对称当且仅当$D$对称。
步骤 4/5
目标：分析正定性的等价条件
由于$X$对称（隐含$D$对称），且$P$可逆，合同变换保持惯性指数。因此$X$正定当且仅当$P^{\mathrm{T}} X P$正定。而$P^{\mathrm{T}} X P$是分块对角矩阵，其正定性等价于各对角块正定。
提示：正定矩阵必须对称，因此需假设$D$对称。题目未明确，但正定条件隐含此点。
步骤 5/5
目标：得出正定的充分必要条件
因此，$X$正定的充分必要条件是：$A$正定且$S = D - C A^{-1}B$正定。注意$S$可写为$D - B^{\mathrm{T}} A^{-1}B$，由于$A$对称正定，$A^{-1}$对称，故$S$对称。
公式：X \text{ 正定} \iff A \succ 0 \text{ 且 } D - C A^{-1}B \succ 0
提示：注意$A$可逆且对称，但正定要求所有特征值大于0，而不仅仅是可逆。
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