华东师范大学 2016年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的向量．已知整数 $m$ 满足 $\displaystyle \varphi^{m}(\alpha) \neq 0$ ，但 $\displaystyle \varphi^{m+1}(\alpha)=0$ ．求证 $\displaystyle \alpha, \varphi(\alpha), \cdots, \varphi^{m}(\alpha)$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定线性组合并作用φ^m
设存在一组数 $k_0, k_1, \dots, k_m \in \mathbb{F}$，使得
$$k_0 \alpha + k_1 \varphi(\alpha) + \cdots + k_m \varphi^m(\alpha) = 0.$$
对等式两边同时作用 $\varphi^m$，得
$$k_0 \varphi^m(\alpha) + k_1 \varphi^{m+1}(\alpha) + \cdots + k_m \varphi^{2m}(\alpha) = 0.$$
提示：注意作用线性变换时，要逐项作用，并利用线性性。
步骤 2/7
目标：利用条件消去高次项
由于 $\varphi^{m+1}(\alpha)=0$，则对任意 $j \geq m+1$ 有 $\varphi^j(\alpha)=0$，因此上式化为
$$k_0 \varphi^m(\alpha) = 0.$$
公式：若 $\varphi^{m+1}(\alpha)=0$，则 $\varphi^{m+1}(\alpha)=\varphi^{m+2}(\alpha)=\cdots=0$
提示：注意 $\varphi^{2m}(\alpha)$ 当 $2m \geq m+1$ 时也为零，但这里只需 $m+1$ 次及以上为零即可。
步骤 3/7
目标：推出k0=0
由已知 $\varphi^m(\alpha) \neq 0$，故 $k_0 = 0$。
提示：非零向量与标量乘积为零，则标量必为零。
步骤 4/7
目标：简化原式并作用φ^{m-1}
原式变为
$$k_1 \varphi(\alpha) + k_2 \varphi^2(\alpha) + \cdots + k_m \varphi^m(\alpha) = 0.$$
对等式两边作用 $\varphi^{m-1}$，得
$$k_1 \varphi^m(\alpha) + k_2 \varphi^{m+1}(\alpha) + \cdots + k_m \varphi^{2m-1}(\alpha) = 0.$$
提示：作用 $\varphi^{m-1}$ 后，$\varphi(\alpha)$ 变为 $\varphi^m(\alpha)$，$\varphi^2(\alpha)$ 变为 $\varphi^{m+1}(\alpha)$，以此类推。
步骤 5/7
目标：再次利用条件消去高次项
同样，$\varphi^{m+1}(\alpha)=0$ 及更高次幂为零，故
$$k_1 \varphi^m(\alpha) = 0,$$
从而 $k_1 = 0$。
提示：注意 $\varphi^{2m-1}(\alpha)$ 当 $2m-1 \geq m+1$ 时也为零，但只需 $m+1$ 次及以上为零即可。
步骤 6/7
目标：重复上述过程
重复上述过程，依次可得 $k_2 = 0, \dots, k_m = 0$。
提示：每次作用 $\varphi^{m-i}$ 可推出 $k_i=0$，其中 $i=0,1,\dots,m$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此向量组 $\alpha, \varphi(\alpha), \dots, \varphi^m(\alpha)$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：仅当所有系数为零时线性组合才为零。
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