华东师范大学 2016年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$X$ 是一个集合．已知存在一个双射 $\displaystyle \varphi: X \rightarrow V$ ．先在 $X$上定义加法和数乘运算如下：
$$
\begin{aligned}
& x \oplus y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y)), \quad \forall x, y \in X, \\
& x \circ y=\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)), \quad \forall \lambda \in K, x \in X .
\end{aligned}
$$
验证 $X$ 关于上述定义的加法与数乘构成 $K$ 上的一个线性空间，并且 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间之间的一个同构。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：验证加法交换律
对任意 $x, y \in X$，由定义 $x \oplus y = \varphi^{-1}(\varphi(x) + \varphi(y))$。由于 $V$ 中加法交换，$\varphi(x) + \varphi(y) = \varphi(y) + \varphi(x)$，因此 $x \oplus y = \varphi^{-1}(\varphi(y) + \varphi(x)) = y \oplus x$。
公式：$x \oplus y = \varphi^{-1}(\varphi(x) + \varphi(y))$
提示：注意 $\varphi$ 是双射，所以 $\varphi^{-1}$ 存在且保持运算。
步骤 2/9
目标：验证加法结合律
对任意 $x, y, z \in X$，计算 $(x \oplus y) \oplus z = \varphi^{-1}(\varphi(\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y))) + \varphi(z)) = \varphi^{-1}((\varphi(x)+\varphi(y)) + \varphi(z))$。由于 $V$ 中加法结合，等于 $\varphi^{-1}(\varphi(x) + (\varphi(y)+\varphi(z))) = x \oplus (y \oplus z)$。
公式：$(x \oplus y) \oplus z = \varphi^{-1}((\varphi(x)+\varphi(y))+\varphi(z))$
提示：注意 $\varphi \circ \varphi^{-1} = \mathrm{id}_V$。
步骤 3/9
目标：验证零元存在
令 $0_X = \varphi^{-1}(0_V)$，其中 $0_V$ 是 $V$ 的零元。对任意 $x \in X$，$x \oplus 0_X = \varphi^{-1}(\varphi(x) + 0_V) = \varphi^{-1}(\varphi(x)) = x$，同理 $0_X \oplus x = x$。
公式：$0_X = \varphi^{-1}(0_V)$
提示：零元唯一，由 $\varphi$ 的双射性保证。
步骤 4/9
目标：验证负元存在
对任意 $x \in X$，令 $-x = \varphi^{-1}(-\varphi(x))$，其中 $-\varphi(x)$ 是 $\varphi(x)$ 在 $V$ 中的负元。则 $x \oplus (-x) = \varphi^{-1}(\varphi(x) + (-\varphi(x))) = \varphi^{-1}(0_V) = 0_X$。
公式：$-x = \varphi^{-1}(-\varphi(x))$
提示：负元唯一性由 $\varphi$ 的双射性保证。
步骤 5/9
目标：验证数乘单位元
对任意 $x \in X$，$1 \circ x = \varphi^{-1}(1 \cdot \varphi(x)) = \varphi^{-1}(\varphi(x)) = x$。
公式：$1 \circ x = x$
提示：数乘单位元是数域 $K$ 的乘法单位元。
步骤 6/9
目标：验证数乘结合律
对任意 $\lambda, \mu \in K$，$x \in X$，$(\lambda \mu) \circ x = \varphi^{-1}((\lambda \mu) \varphi(x)) = \varphi^{-1}(\lambda (\mu \varphi(x))) = \lambda \circ (\mu \circ x)$。
公式：$(\lambda \mu) \circ x = \lambda \circ (\mu \circ x)$
提示：利用 $V$ 中数乘结合律。
步骤 7/9
目标：验证数乘分配律（向量）
对任意 $\lambda \in K$，$x, y \in X$，$\lambda \circ (x \oplus y) = \varphi^{-1}(\lambda (\varphi(x)+\varphi(y))) = \varphi^{-1}(\lambda \varphi(x) + \lambda \varphi(y))$。由于 $\varphi^{-1}$ 保持加法（由定义），等于 $\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)) \oplus \varphi^{-1}(\lambda \varphi(y)) = (\lambda \circ x) \oplus (\lambda \circ y)$。
公式：$\lambda \circ (x \oplus y) = (\lambda \circ x) \oplus (\lambda \circ y)$
提示：注意 $\varphi^{-1}$ 的加法保持性由定义保证。
步骤 8/9
目标：验证数乘分配律（标量）
对任意 $\lambda, \mu \in K$，$x \in X$，$(\lambda + \mu) \circ x = \varphi^{-1}((\lambda+\mu)\varphi(x)) = \varphi^{-1}(\lambda \varphi(x) + \mu \varphi(x)) = \varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)) \oplus \varphi^{-1}(\mu \varphi(x)) = (\lambda \circ x) \oplus (\mu \circ x)$。
公式：$(\lambda + \mu) \circ x = (\lambda \circ x) \oplus (\mu \circ x)$
提示：利用 $V$ 中数乘对加法分配律。
步骤 9/9
目标：证明 $\varphi$ 是同构
$\varphi$ 是双射（已知）。线性性：对任意 $x, y \in X$，$\lambda \in K$，$\varphi(x \oplus y) = \varphi(\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y))) = \varphi(x)+\varphi(y)$，$\varphi(\lambda \circ x) = \varphi(\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x))) = \lambda \varphi(x)$。因此 $\varphi$ 是线性同构。
公式：$\varphi(x \oplus y) = \varphi(x) + \varphi(y)$, $\varphi(\lambda \circ x) = \lambda \varphi(x)$
提示：同构要求双射且线性，线性性由定义直接推出。
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