华东师范大学 2016年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算
$$
(A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V .
$$
（1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间．
（2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射
$$
\phi(A)=T A, \quad A \in V
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射．
（3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证对称性
对任意 $A, B \in V$，计算 $(A, B) = \operatorname{Tr}(A^T B)$。由于迹满足 $\operatorname{Tr}(X) = \operatorname{Tr}(X^T)$，有 $(A, B) = \operatorname{Tr}((A^T B)^T) = \operatorname{Tr}(B^T A) = (B, A)$，故对称性成立。
公式：$\operatorname{Tr}(X) = \operatorname{Tr}(X^T)$
提示：注意矩阵转置的运算顺序：$(A^T B)^T = B^T A$。
步骤 2/5
目标：验证线性性
对任意 $A, B, C \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，计算 $(kA + B, C) = \operatorname{Tr}((kA + B)^T C) = \operatorname{Tr}((kA^T + B^T)C) = \operatorname{Tr}(kA^T C + B^T C) = k \operatorname{Tr}(A^T C) + \operatorname{Tr}(B^T C) = k(A, C) + (B, C)$，故线性性成立。
公式：$(kA+B)^T = kA^T + B^T$
提示：迹的线性性：$\operatorname{Tr}(X+Y) = \operatorname{Tr}(X) + \operatorname{Tr}(Y)$，$\operatorname{Tr}(kX) = k \operatorname{Tr}(X)$。
步骤 3/5
目标：验证正定性
对任意 $A \in V$，$(A, A) = \operatorname{Tr}(A^T A) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 \geq 0$，且等号成立当且仅当所有 $a_{ij}=0$，即 $A=0$。故正定性成立。因此 $(\cdot,\cdot)$ 是内积。$V$ 作为 $n \times n$ 实矩阵空间，维数为 $n^2$，故为 $n^2$ 维欧式空间。
公式：$\operatorname{Tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$
提示：注意 $A^T A$ 的对角线元素是 $A$ 各列向量的内积，其和等于所有元素平方和。
步骤 4/5
目标：证明线性映射
对任意 $A, B \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，有 $\phi(kA + B) = T(kA + B) = kTA + TB = k\phi(A) + \phi(B)$，故 $\phi$ 是线性映射。
公式：矩阵乘法对加法和数乘的分配律
提示：注意 $T$ 是固定矩阵，左乘是线性运算。
步骤 5/5
目标：推导伴随算子表达式
设 $\phi^*$ 为 $\phi$ 的伴随算子，满足 $(\phi(A), B) = (A, \phi^*(B))$ 对所有 $A, B \in V$。计算 $(\phi(A), B) = \operatorname{Tr}((TA)^T B) = \operatorname{Tr}(A^T T^T B) = \operatorname{Tr}(A^T (T^T B)) = (A, T^T B)$。因此 $\phi^*(B) = T^T B$，即 $\phi^*$ 是左乘 $T^T$ 的映射。
公式：$(TA)^T = A^T T^T$
提示：伴随算子由内积等式唯一确定，注意矩阵转置的运算顺序。
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