华东师范大学 2016年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）证明：下列二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}
$$
是半正定型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵形式
二次型 $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = n \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\sum_{i=1}^n x_i)^2$ 可以写成 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，矩阵 $A = (a_{ij})$ 的元素为：当 $i=j$ 时 $a_{ii} = n-1$，当 $i \neq j$ 时 $a_{ij} = -1$。因此 $A = nI - J$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$J$ 是元素全为1的 $n$ 阶矩阵。
公式：$A = nI - J$
提示：注意 $\sum_{i=1}^n x_i^2$ 的系数 $n$ 与 $-(\sum x_i)^2$ 展开后的交叉项系数 $-2$ 要正确合并，得到 $a_{ii}=n-1$，$a_{ij}=-1$。
步骤 2/5
目标：分析矩阵J的特征值
矩阵 $J$ 的所有元素均为1，秩为1。$J$ 的特征值为：一个特征值 $n$（对应特征向量 $(1,1,\dots,1)^T$），以及 $n-1$ 个特征值 $0$（对应与 $(1,1,\dots,1)^T$ 正交的向量空间）。
公式：$\lambda_J = n \text{（单重）}, 0 \text{（$n-1$重）}$
提示：注意 $J$ 是对称矩阵，特征值均为实数，且特征向量可正交。
步骤 3/5
目标：计算矩阵A的特征值
由于 $A = nI - J$，且 $I$ 与 $J$ 可交换，$A$ 与 $J$ 有相同的特征向量。对于 $J$ 的特征值 $\lambda$，$A$ 对应的特征值为 $n - \lambda$。因此 $A$ 的特征值为：$n - n = 0$（对应特征向量 $(1,1,\dots,1)^T$）和 $n - 0 = n$（$n-1$ 重）。
公式：$\lambda_A = n - \lambda_J$
提示：注意 $nI$ 的特征值都是 $n$，所以 $A$ 的特征值就是 $n$ 减去 $J$ 的特征值。
步骤 4/5
目标：判断半正定性
矩阵 $A$ 的所有特征值非负：一个特征值为0，其余 $n-1$ 个特征值为 $n>0$。因此 $A$ 是半正定矩阵。根据二次型与对称矩阵的对应关系，二次型 $f$ 是半正定的。
提示：半正定要求所有特征值 $\geq 0$，这里特征值0对应非零向量，所以是半正定而不是正定。
步骤 5/5
目标：补充说明（可选）
也可以直接验证：$f = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i - x_j)^2 \geq 0$，等号成立当且仅当所有 $x_i$ 相等。
公式：$f = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i - x_j)^2$
提示：这个恒等式可以快速证明半正定性，但需要验证其正确性。
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