华东师范大学 2016年高等代数第8题

当 $b_i = c_i > 0$ 时，矩阵 $A$ 是实对称三对角矩阵，且非对角线元素均为正数。实对称矩阵的特征值均为实数。下面证明特征值两两不同。设 $p_k(\lambda)$ 为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式对应的特征多项式，即 $A$ 的前 $k$ 行 $k$ 列主子矩阵的特征多项式。则有递推关系： $$p_0(\lambda)=1,\quad p_1(\lambda)=a_1-\lambda,$$ $$p_k(\lambda)=(a_k-\lambda)p_{k-1}(\lambda)-b_{k-1}^2 p_{k-2}(\lambda),\quad k=2,\dots,n.$$ 由于 $b_{k-1}^2>0$，由Sturm序列性质，多项式序列 $\{p_k(\lambda)\}_{k=0}^n$ 在 $\lambda$ 轴上符号变化次数等于 $A$ 的小于 $\lambda$ 的特征值个数。特别地，$p_n(\lambda)$ 的根均为实数且互异（因为若重根，则 $p_n$ 与 $p_{n-1}$ 有公因子，但递推可证 $p_k$ 与 $p_{k-1}$ 无公共根）。因此 $A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值。

对于一般情形 $b_i c_i > 0$，构造对角矩阵 $D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n)$，其中 $d_1=1$，且 $d_{i+1} = \sqrt{\frac{c_i}{b_i}} d_i$（$i=1,\dots,n-1$）。由于 $b_i c_i>0$，$\frac{c_i}{b_i}>0$，故 $d_i$ 均为正实数。

计算 $D^{-1}AD$： $$(D^{-1}AD)_{ij} = d_i^{-1} a_{ij} d_j.$$ 对于 $A$ 的非零元素： - 对角元：$(D^{-1}AD)_{ii}=a_{ii}=a_i$。 - 次对角线：$(D^{-1}AD)_{i,i+1}=d_i^{-1} b_i d_{i+1}=b_i \cdot \frac{d_{i+1}}{d_i}=b_i \sqrt{\frac{c_i}{b_i}}=\sqrt{b_i c_i}$。 - 次次对角线：$(D^{-1}AD)_{i+1,i}=d_{i+1}^{-1} c_i d_i=c_i \cdot \frac{d_i}{d_{i+1}}=c_i \sqrt{\frac{b_i}{c_i}}=\sqrt{b_i c_i}$。 因此 $D^{-1}AD$ 为实对称三对角矩阵，且非对角线元素均为 $\sqrt{b_i c_i}>0$，属于步骤1中的特殊情形。

由于 $D^{-1}AD$ 是实对称三对角矩阵且非对角线元素为正，由步骤1知 $D^{-1}AD$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值。

相似变换不改变特征值，因此 $A$ 与 $D^{-1}AD$ 有相同的特征值。故 $A$ 也有 $n$ 个两两不同的实特征值。