华东师范大学 2018年高等代数第2题
📝 题目
2．（10 分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f_{A}(\lambda)$ 与极小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ 分别为
$$
f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) .
$$
求 $A$ 的 Jordan 典范型。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特征多项式
由特征多项式 $f_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+2)^2$ 可知，特征值 $1$ 的代数重数为 $3$，特征值 $-2$ 的代数重数为 $2$。
公式：$f_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$
提示：注意特征多项式的根即为特征值，指数为代数重数。
步骤 2/5
目标：分析极小多项式
由极小多项式 $m_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+2)$ 可知，特征值 $1$ 的 Jordan 块的最大阶数为 $2$，特征值 $-2$ 的 Jordan 块的最大阶数为 $1$。
公式：$m_A(\lambda)$ 是使得 $m_A(A)=0$ 的次数最低的首一多项式
提示：极小多项式中每个因子的指数对应特征值的最大 Jordan 块阶数。
步骤 3/5
目标：确定特征值1的Jordan块结构
特征值 $1$ 的代数重数为 $3$，最大 Jordan 块阶数为 $2$。可能的 Jordan 块组合为：一个 $2$ 阶块和一个 $1$ 阶块。因为若有两个 $2$ 阶块则总阶数至少为 $4$，超过代数重数；若只有一个 $1$ 阶块则最大阶数为 $1$，与极小多项式矛盾。
提示：注意 Jordan 块阶数之和等于代数重数，且最大阶数由极小多项式决定。
步骤 4/5
目标：确定特征值-2的Jordan块结构
特征值 $-2$ 的代数重数为 $2$，最大 Jordan 块阶数为 $1$。因此 Jordan 块只能是两个 $1$ 阶块（即对角块）。
提示：最大阶数为1意味着所有Jordan块都是1阶，即对角化。
步骤 5/5
目标：组合Jordan典范型
将上述 Jordan 块按顺序排列，得到 Jordan 典范型矩阵：
\[
J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}.
\]
提示：Jordan块顺序可以调换，但通常按特征值分组。注意2阶Jordan块上对角线为1。
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