华东师范大学 2018年高等代数第3题
📝 题目
3．（10 分）已知实二次型 $Q$ 满足 $\displaystyle Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ．求证：$Q$ 或者正定或者负定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设二次型矩阵并理解条件
设实二次型 $Q(x) = x^T A x$，其中 $A$ 为实对称矩阵。条件 $Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ 表明 $Q$ 仅在零向量处为零，即 $Q$ 是正定或负定的。
公式：$Q(x) = x^T A x$
提示：注意 $A$ 是实对称矩阵，这是二次型标准表示的前提。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $Q$ 既不正定也不负定，则存在非零向量 $\alpha, \beta$ 使得 $Q(\alpha)>0$ 且 $Q(\beta)<0$。
提示：注意非零向量的存在性：若 $Q$ 不正定，则存在非零向量使 $Q\leq 0$；若也不负定，则存在非零向量使 $Q\geq 0$，结合条件可推出严格不等式。
步骤 3/6
目标：构造连续函数
考虑连续函数 $f(t) = Q(t\alpha + (1-t)\beta)$，其中 $t \in [0,1]$。由于 $Q$ 是二次型，$f(t)$ 是 $t$ 的二次函数，因此连续。
公式：$f(t) = Q(t\alpha + (1-t)\beta)$
提示：连续性由二次型是多项式函数保证。
步骤 4/6
目标：应用介值定理
计算端点值：$f(0)=Q(\beta)<0$，$f(1)=Q(\alpha)>0$。由介值定理，存在 $t_0 \in (0,1)$ 使得 $f(t_0)=0$。
公式：介值定理：若连续函数在区间端点异号，则区间内存在零点。
提示：注意 $t_0$ 严格介于0和1之间，因为端点值非零。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由 $f(t_0)=0$ 得 $Q(t_0\alpha + (1-t_0)\beta)=0$。根据条件，必有 $t_0\alpha + (1-t_0)\beta = 0$，即 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线（$\alpha = -\frac{1-t_0}{t_0}\beta$）。但若 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线，则 $Q(\alpha)$ 与 $Q(\beta)$ 同号（因为 $Q(k\beta)=k^2 Q(\beta)$），与 $Q(\alpha)>0$ 且 $Q(\beta)<0$ 矛盾。
公式：$Q(k\beta)=k^2 Q(\beta)$
提示：注意共线时 $Q$ 的符号性质：二次型在非零标量倍下符号不变。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，$Q$ 要么正定，要么负定。
提示：结论直接由反证法得到。
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