华东师范大学 2019年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：定义空间和不变子空间
设 $V = \{ A \in M_2(\mathbb{C}) \mid \operatorname{tr}(A) = 0 \}$，则 $\dim_{\mathbb{C}} V = 3$。$GL_2(\mathbb{C})$ 通过共轭作用在 $V$ 上：$P \cdot A = P^{-1}AP$。设 $W$ 是一个非零的 $GL_2(\mathbb{C})$-不变子空间，要证 $W = V$。
提示：注意 $V$ 是迹零矩阵空间，维数为3。
步骤 2/8
目标：取非零矩阵并分类
取 $0 \neq A \in W$。由于 $A$ 是迹零矩阵，其特征多项式为 $\lambda^2 - \det(A)$。分两种情况：$A$ 可对角化或不可对角化。
公式：$\lambda^2 - \det(A)$
提示：迹零矩阵的特征值互为相反数。
步骤 3/8
目标：情况1：A可对角化
存在 $P \in GL_2(\mathbb{C})$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$，其中 $a \neq 0$。于是 $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \in W$。
公式：$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$
提示：对角化后矩阵仍属于 $W$，因为 $W$ 是不变子空间。
步骤 4/8
目标：生成基矩阵E12
取 $R = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $R^{-1} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} a & 2a \\ 0 & -a \end{pmatrix} \in W$。相减得 $\begin{pmatrix} 0 & 2a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in W$，从而 $E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in W$。
公式：$R^{-1} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} a & 2a \\ 0 & -a \end{pmatrix}$
提示：注意 $a \neq 0$，可除以 $2a$ 得到 $E_{12}$。
步骤 5/8
目标：生成基矩阵E21和H
类似地，通过共轭作用可得 $E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in W$。取 $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $S^{-1}E_{12}S = -E_{12}$，但更直接地，由 $E_{12}$ 和 $E_{21}$ 的换位子 $[E_{12}, E_{21}] = E_{12}E_{21} - E_{21}E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \in W$，即 $H \in W$。由于 $\{ E_{12}, E_{21}, H \}$ 是 $V$ 的一组基，故 $W = V$。
公式：$[E_{12}, E_{21}] = H$
提示：换位子运算保持迹零性质，且 $W$ 是子空间，故封闭。
步骤 6/8
目标：情况2：A不可对角化
则 $A$ 相似于 Jordan 块 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，于是 $J \in W$。
公式：$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：不可对角化时特征值全为0，Jordan标准形唯一。
步骤 7/8
目标：生成E21和H
取 $T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，则 $T^{-1} J T = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = E_{21} \in W$。由 $J$ 和 $E_{21}$ 的换位子 $[J, E_{21}] = J E_{21} - E_{21} J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = H \in W$。于是 $W$ 包含 $E_{12}=J$，$E_{21}$ 和 $H$，故 $W = V$。
公式：$[J, E_{21}] = H$
提示：注意 $J = E_{12}$，所以实际上得到了所有基。
步骤 8/8
目标：结论
综上，$V$ 的 $GL_2(\mathbb{C})$-不变子空间只有 $\{0\}$ 和 $V$。
提示：非零不变子空间必为整个空间。
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