华南理工大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ．
证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义子空间并明确证明目标
设 $W_i = \mathscr{A}_i(V)$，$i=1,2,\dots,m$。我们需要证明 $V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_m$，即证明：
1. $V = W_1 + W_2 + \cdots + W_m$；
2. 和是直和，即对任意 $i$，$W_i \cap \sum_{j \neq i} W_j = \{0\}$。
提示：注意直和的定义：和空间中的每个向量表示唯一。
步骤 2/4
目标：证明 $V$ 等于各子空间的和
对任意 $\alpha \in V$，考虑向量 $\beta = \alpha - \sum_{i=1}^m \mathscr{A}_i \alpha$。由条件（2），当 $i \neq j$ 时，$\mathscr{A}_i \mathscr{A}_j = \mathscr{O}$，因此对每个 $k$，
$$
\mathscr{A}_k \beta = \mathscr{A}_k \alpha - \sum_{i=1}^m \mathscr{A}_k \mathscr{A}_i \alpha = \mathscr{A}_k \alpha - \mathscr{A}_k^2 \alpha = \mathscr{A}_k \alpha - \mathscr{A}_k \alpha = 0,
$$
其中用到 $\mathscr{A}_k^2 = \mathscr{A}_k$ 和 $\mathscr{A}_k \mathscr{A}_i = \mathscr{O}$（$i \neq k$）。所以 $\beta \in \bigcap_{i=1}^m \mathscr{A}_i^{-1}(0)$。由条件（3），该交只有零向量，故 $\beta = 0$，即
$$
\alpha = \sum_{i=1}^m \mathscr{A}_i \alpha \in \sum_{i=1}^m W_i.
$$
因此 $V = \sum_{i=1}^m W_i$。
公式：$\mathscr{A}_k \beta = \mathscr{A}_k \alpha - \sum_{i=1}^m \mathscr{A}_k \mathscr{A}_i \alpha$
提示：注意 $\mathscr{A}_k \mathscr{A}_i \alpha$ 当 $i \neq k$ 时为零，当 $i=k$ 时为 $\mathscr{A}_k^2 \alpha = \mathscr{A}_k \alpha$，从而抵消。
步骤 3/4
目标：证明和是直和
假设存在 $\alpha_i \in W_i$，$i=1,\dots,m$，使得 $\sum_{i=1}^m \alpha_i = 0$。我们需要证明每个 $\alpha_i = 0$。
由于 $\alpha_i \in W_i = \mathscr{A}_i(V)$，存在 $\beta_i \in V$ 使得 $\alpha_i = \mathscr{A}_i \beta_i$。对任意固定的 $k$，用 $\mathscr{A}_k$ 作用在等式 $\sum_{i=1}^m \alpha_i = 0$ 两边，得
$$
\mathscr{A}_k \left( \sum_{i=1}^m \alpha_i \right) = \sum_{i=1}^m \mathscr{A}_k \alpha_i = 0.
$$
当 $i \neq k$ 时，$\mathscr{A}_k \alpha_i = \mathscr{A}_k \mathscr{A}_i \beta_i = \mathscr{O} \beta_i = 0$；当 $i = k$ 时，$\mathscr{A}_k \alpha_k = \mathscr{A}_k^2 \beta_k = \mathscr{A}_k \beta_k = \alpha_k$。因此上式化为 $\alpha_k = 0$。由 $k$ 的任意性，所有 $\alpha_i = 0$。故和是直和。
公式：$\mathscr{A}_k \alpha_i = \begin{cases} \alpha_k, & i=k \\ 0, & i \neq k \end{cases}$
提示：注意 $\mathscr{A}_k$ 作用在 $\alpha_i$ 上时，$\alpha_i$ 本身是 $\mathscr{A}_i$ 的像，利用条件（2）消去交叉项。
步骤 4/4
目标：总结结论
由步骤1和步骤2，我们证明了 $V = W_1 + W_2 + \cdots + W_m$ 且和是直和，因此 $V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_m$，即 $V = \mathscr{A}_1(V) \oplus \mathscr{A}_2(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_m(V)$。
提示：注意直和符号 $\oplus$ 表示和空间且各子空间交为零。
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