华南理工大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$
$$
(A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$
证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入标准基矩阵并设内积系数
设 $E_{ij}$ 为第 $(i,j)$ 元素为1、其余为0的矩阵，则任意矩阵 $A$ 可表示为 $A = \sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}$。由内积的双线性性，存在常数 $c_{ij,kl}$ 使得 $(E_{ij}, E_{kl}) = c_{ij,kl}$。
提示：注意基矩阵的表示和双线性性的应用。
步骤 2/6
目标：利用条件推导基矩阵内积的对称性
取 $C = E_{rs}$，代入条件 $(AC, B) = (A, CB)$ 得 $(E_{rs}E_{ij}, E_{kl}) = (E_{ij}, E_{rs}E_{kl})$。计算 $E_{rs}E_{ij} = \delta_{si} E_{rj}$，$E_{rs}E_{kl} = \delta_{sk} E_{rl}$，因此 $\delta_{si} (E_{rj}, E_{kl}) = \delta_{sk} (E_{ij}, E_{rl})$。
公式：$E_{rs}E_{ij} = \delta_{si} E_{rj}$
提示：注意矩阵乘法的结果：$E_{rs}E_{ij}$ 只有当 $s=i$ 时非零，且为 $E_{rj}$。
步骤 3/6
目标：令指标相等得到非零条件
令 $s=i$，得 $(E_{rj}, E_{kl}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{rl})$。再令 $r=i$，得 $(E_{ij}, E_{kl}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{il})$。类似地，令 $s=k$ 可得 $(E_{rj}, E_{kl}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{rl})$。这表明 $(E_{ij}, E_{kl})$ 仅当 $i=k$ 时可能非零。
公式：$(E_{ij}, E_{kl}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{il})$
提示：注意 $δ_{ik}$ 是克罗内克符号，当 $i=k$ 时为1，否则为0。
步骤 4/6
目标：进一步推导列指标相等
在 $(E_{ij}, E_{kl}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{il})$ 中，令 $l=j$，得 $(E_{ij}, E_{kj}) = \delta_{ik} (E_{ij}, E_{ij})$。当 $i \neq k$ 时，左边为0；当 $i=k$ 时，$(E_{ij}, E_{ij})$ 非零。类似地，考虑其他组合可得 $(E_{ij}, E_{kl}) = 0$ 除非 $i=k$ 且 $j=l$。因此 $(E_{ij}, E_{kl}) = \lambda_{ij} \delta_{ik} \delta_{jl}$，其中 $\lambda_{ij} = (E_{ij}, E_{ij})$。
公式：$(E_{ij}, E_{kl}) = \lambda_{ij} \delta_{ik} \delta_{jl}$
提示：注意 $λ_{ij}$ 可能依赖于 $i,j$，需要进一步证明所有 $λ_{ij}$ 相等。
步骤 5/6
目标：证明所有 $λ_{ij}$ 相等
取 $C$ 为置换矩阵，例如交换第 $i$ 行和第 $k$ 行的初等矩阵 $P$，则 $P E_{ij} = E_{kj}$，$P E_{kl} = E_{il}$。利用条件 $(P E_{ij}, E_{kl}) = (E_{ij}, P E_{kl})$ 得 $(E_{kj}, E_{kl}) = (E_{ij}, E_{il})$。由非零条件，左边 $= \lambda_{kj} \delta_{jk}$，右边 $= \lambda_{ij} \delta_{jl}$。取 $j=l$ 得 $\lambda_{kj} = \lambda_{ij}$，故所有 $λ_{ij}$ 与 $i$ 无关。类似地，考虑转置或列置换可得 $λ_{ij}$ 与 $j$ 无关。因此存在常数 $c>0$ 使得 $\lambda_{ij}=c$ 对所有 $i,j$ 成立。
公式：$(E_{kj}, E_{kl}) = (E_{ij}, E_{il})$
提示：注意置换矩阵的作用：左乘置换矩阵交换行，右乘交换列。
步骤 6/6
目标：计算迹并得到内积形式
计算 $\operatorname{tr}(E_{ij}E_{kl}) = \operatorname{tr}(\delta_{jk}E_{il}) = \delta_{jk}\delta_{il}$。而 $(E_{ij}, E_{kl}) = c \delta_{ik}\delta_{jl}$。比较得 $(E_{ij}, E_{kl}) = c \operatorname{tr}(E_{ij}E_{kl})$。由双线性性，对任意 $A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}$，有 $(A,B) = c \operatorname{tr}(AB)$。由于内积正定，$c>0$。
公式：$\operatorname{tr}(E_{ij}E_{kl}) = \delta_{jk}\delta_{il}$
提示：注意迹的线性性和基矩阵的迹计算。
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