哈尔滨工业大学 2013年高等代数第3题

设 $\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3$，代入向量得线性方程组： $$\begin{cases} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = \lambda + 1 \\ (1-\lambda)x_1 + (\lambda-1)x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 2 \end{cases}$$

增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & \lambda+1 \\ 1-\lambda & \lambda-1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda & 2 \end{pmatrix}$。进行初等行变换： $r_2 + r_1$ 得 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & \lambda+1 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda+1 \\ 1 & 1 & \lambda & 2 \end{pmatrix}$， 交换 $r_1$ 与 $r_3$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda & 2 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda+1 \\ \lambda & 1 & 1 & \lambda+1 \end{pmatrix}$， $r_2 - r_1$，$r_3 - \lambda r_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda & 2 \\ 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda-1 \\ 0 & 1-\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$， $r_3 + r_2$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda & 2 \\ 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda-1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda-\lambda^2 & 2-2\lambda \end{pmatrix}$。

由行阶梯形，最后一行对应方程 $[2-\lambda-\lambda^2]x_3 = 2-2\lambda$，即 $-(\lambda-1)(\lambda+2)x_3 = 2(1-\lambda)$。 - 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，系数矩阵秩 $r(A)=3$，增广矩阵秩 $r(\bar{A})=3$，方程组有唯一解。 - 当 $\lambda = 1$ 时，矩阵化为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$r(A)=r(\bar{A})=1<3$，有无穷多解。 - 当 $\lambda = -2$ 时，矩阵化为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$，$r(A)=2$，$r(\bar{A})=3$，无解。

由最后一行：$-(\lambda-1)(\lambda+2)x_3 = 2(1-\lambda)$，因为 $\lambda \neq 1$，两边除以 $\lambda-1$ 得 $-(\lambda+2)x_3 = -2$，所以 $x_3 = \frac{2}{\lambda+2}$。 由第二行：$(\lambda-1)x_2 + (1-\lambda)x_3 = \lambda-1$，即 $(\lambda-1)(x_2 - x_3) = \lambda-1$，因为 $\lambda \neq 1$，得 $x_2 - x_3 = 1$，所以 $x_2 = 1 + x_3 = 1 + \frac{2}{\lambda+2} = \frac{\lambda+4}{\lambda+2}$。 由第一行：$x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 2$，代入得 $x_1 = 2 - x_2 - \lambda x_3 = 2 - \frac{\lambda+4}{\lambda+2} - \lambda \cdot \frac{2}{\lambda+2} = \frac{2(\lambda+2) - (\lambda+4) - 2\lambda}{\lambda+2} = \frac{-\lambda}{\lambda+2}$。 因此表达式为 $\beta = \frac{-\lambda}{\lambda+2} \alpha_1 + \frac{\lambda+4}{\lambda+2} \alpha_2 + \frac{2}{\lambda+2} \alpha_3$。

当 $\lambda = 1$ 时，$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$。显然 $\beta = 2\alpha_1$，且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 相同，故表达式不唯一。一般形式：$\beta = (2 - t - s)\alpha_1 + t\alpha_2 + s\alpha_3$，其中 $t,s$ 为任意常数。

综上： - 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，$\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表示为 $\beta = \frac{-\lambda}{\lambda+2} \alpha_1 + \frac{\lambda+4}{\lambda+2} \alpha_2 + \frac{2}{\lambda+2} \alpha_3$。 - 当 $\lambda = 1$ 时，$\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，表达式不唯一，例如 $\beta = 2\alpha_1$。 - 当 $\lambda = -2$ 时，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。