哈尔滨工业大学 2013年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle W_{1}$ 和 $\displaystyle W_{2}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上向量空间 $V$ 的有限维子空间，证明：
$$
\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定维数并选取基
设 $\dim W_1 = m$, $\dim W_2 = n$, $\dim (W_1 \cap W_2) = k$。取 $W_1 \cap W_2$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k$，将其扩充为 $W_1$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_{m-k}$，以及 $W_2$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-k}$。
提示：注意 $W_1 \cap W_2$ 的基要同时扩充到 $W_1$ 和 $W_2$ 的基中，确保公共部分一致。
步骤 2/7
目标：证明向量组线性无关
考虑线性组合：$\sum_{i=1}^k a_i \alpha_i + \sum_{j=1}^{m-k} b_j \beta_j + \sum_{l=1}^{n-k} c_l \gamma_l = 0$。移项得 $\sum_{i=1}^k a_i \alpha_i + \sum_{j=1}^{m-k} b_j \beta_j = -\sum_{l=1}^{n-k} c_l \gamma_l$。左边属于 $W_1$，右边属于 $W_2$，因此属于 $W_1 \cap W_2$。
提示：注意等式两边分别属于 $W_1$ 和 $W_2$，从而推出属于交空间。
步骤 3/7
目标：利用交空间基表示
由于右边属于 $W_1 \cap W_2$，可用其基表示：$-\sum_{l=1}^{n-k} c_l \gamma_l = \sum_{i=1}^k d_i \alpha_i$，即 $\sum_{i=1}^k d_i \alpha_i + \sum_{l=1}^{n-k} c_l \gamma_l = 0$。
提示：注意这里 $\alpha_i$ 和 $\gamma_l$ 是 $W_2$ 的基，因此系数必须全为零。
步骤 4/7
目标：推出系数为零
由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-k}$ 是 $W_2$ 的一组基，线性无关，故 $d_i = 0$, $c_l = 0$。代入原式得 $\sum_{i=1}^k a_i \alpha_i + \sum_{j=1}^{m-k} b_j \beta_j = 0$。
提示：注意 $\alpha_i$ 和 $\gamma_l$ 线性无关，所以系数全为零。
步骤 5/7
目标：再次推出系数为零
由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_{m-k}$ 是 $W_1$ 的一组基，线性无关，故 $a_i = 0$, $b_j = 0$。因此所有系数为零，向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_{m-k}, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-k}$ 线性无关。
提示：注意这里利用了 $W_1$ 的基的线性无关性。
步骤 6/7
目标：证明向量组生成和空间
任取 $x \in W_1+W_2$，则存在 $u \in W_1$, $v \in W_2$ 使得 $x = u+v$。$u$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_{m-k}$ 线性表示，$v$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-k}$ 线性表示，因此 $x$ 可由上述向量组线性表示。故该向量组是 $W_1+W_2$ 的一组基。
提示：注意 $u$ 和 $v$ 的表示中公共部分 $\alpha_i$ 的系数可以合并。
步骤 7/7
目标：计算维数并得出结论
该基所含向量个数为 $k + (m-k) + (n-k) = m+n-k$，因此 $\dim(W_1+W_2) = m+n-k = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$。
公式：$$\dim(W_1+W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$$
提示：注意公式中减去的正是交空间的维数。
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