哈尔滨工业大学 2013年高等代数第5题
📝 题目
5．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right) \in C^{2 \times 2}$ 。问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时 $\displaystyle A, B$ 相似？ $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时在复数域 $C$ 上合同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出相似的必要条件：特征多项式相等
矩阵 $A$ 和 $B$ 相似的必要条件是特征多项式相等。计算 $A$ 的特征多项式：
$$
\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a & -2 \\ -2 & \lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda - a)(\lambda - 2) - 4 = \lambda^2 - (a+2)\lambda + 2a - 4.
$$
计算 $B$ 的特征多项式：
$$
\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda - 4 & -b \\ -3 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 4)(\lambda - 1) - 3b = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 3b.
$$
令两者相等，比较系数得方程组：
$$
\begin{cases} a+2 = 5 \\ 2a - 4 = 4 - 3b \end{cases}
$$
解得 $a=3$，$b=\frac{2}{3}$。
公式：特征多项式公式：$\det(\lambda I - M)$
提示：注意特征多项式是 $\det(\lambda I - M)$，不要写成 $\det(M - \lambda I)$，否则符号可能出错。
步骤 2/7
目标：验证相似性：检查特征值是否互异
当 $a=3$，$b=\frac{2}{3}$ 时，$A$ 和 $B$ 的特征多项式均为 $\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0$。判别式 $\Delta = 25 - 8 = 17 > 0$，故特征值为两个不同的实数：$\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$。由于特征值互异，$A$ 和 $B$ 均可对角化，且对角矩阵相同（均为 $\operatorname{diag}(\frac{5+\sqrt{17}}{2}, \frac{5-\sqrt{17}}{2})$），因此 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：特征值互异则矩阵可对角化
提示：若特征值有重根，需进一步检查 Jordan 标准形是否相同，但本题特征值互异，故直接得到相似。
步骤 3/7
目标：总结相似条件
综上所述，$A$ 与 $B$ 相似当且仅当 $a=3$ 且 $b=\frac{2}{3}$。
提示：相似的必要条件是特征多项式相等，但充分性需要特征值互异或 Jordan 形相同。
步骤 4/7
目标：分析合同条件的前提：矩阵对称性
在复数域上，合同通常针对对称矩阵（或 Hermite 矩阵）。$A$ 是对称矩阵，要使 $A$ 与 $B$ 合同（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = B$），$B$ 必须也是对称矩阵，否则 $P^T A P$ 对称而 $B$ 不对称，矛盾。因此要求 $B$ 对称，即 $b=3$。
公式：合同定义：$P^T A P = B$
提示：注意合同定义中 $P$ 是可逆矩阵，且 $A$ 对称时 $P^T A P$ 也对称。
步骤 5/7
目标：计算秩条件
合同矩阵必须有相同的秩。计算 $A$ 的行列式：$\det A = 2a - 4$。当 $a \neq 2$ 时，$\det A \neq 0$，秩为2；当 $a=2$ 时，$\det A = 0$，但 $A$ 非零，秩为1。计算 $B$ 的行列式（$b=3$ 时）：$\det B = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = -5 \neq 0$，秩为2。因此，若 $b=3$，则 $B$ 满秩，$A$ 必须满秩才能合同，故 $a \neq 2$。
公式：秩相等是合同必要条件
提示：注意 $a=2$ 时 $A$ 秩为1，与 $B$ 秩2不同，不可能合同。
步骤 6/7
目标：计算惯性指数条件
复数域上，两个满秩对称矩阵合同当且仅当它们有相同的正惯性指数（即正特征值个数）。$B$ 的特征多项式为 $\lambda^2 - 5\lambda - 5$，判别式 $45>0$，两根乘积为 $-5$，故一正一负，正惯性指数为1。$A$ 的特征多项式为 $\lambda^2 - (a+2)\lambda + 2a - 4$，判别式 $\Delta = (a-2)^2 + 16 > 0$，两根乘积为 $2a-4$。要使正惯性指数为1，需两根一正一负，即 $2a-4 < 0$，得 $a < 2$。结合秩条件 $a \neq 2$，得 $a < 2$。
公式：正惯性指数：正特征值个数
提示：注意复数域上合同不要求特征值为实数，但对称矩阵的特征值均为实数，故可讨论正负。
步骤 7/7
目标：总结合同条件
综上所述，在复数域上 $A$ 与 $B$ 合同当且仅当 $b=3$ 且 $a < 2$。
提示：注意合同条件中 $b$ 必须等于3以保证 $B$ 对称，且 $a$ 必须小于2以保证正惯性指数相同。
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