新疆大学 2026年高等代数第11题
📝 题目
11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。
（1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确条件和目标
设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换。条件：(1) $\mathscr{A}$ 是正交变换，即 $\forall \alpha, \beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \beta)$；(2) $\mathscr{A}$ 是对称变换，即 $\forall \alpha, \beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\alpha, \beta) = (\alpha, \mathscr{A}\beta)$；(3) $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$，即 $\mathscr{A}^2$ 是恒等变换。需要证明：若满足任意两个，则必满足第三个。
提示：注意区分正交变换、对称变换和幂等变换的定义。
步骤 2/5
目标：情况一：由(1)和(2)推出(3)
假设 $\mathscr{A}$ 是正交变换且对称变换。对任意 $\alpha \in V$，考虑 $\|\mathscr{A}^2\alpha - \alpha\|^2 = (\mathscr{A}^2\alpha - \alpha, \mathscr{A}^2\alpha - \alpha)$。由于正交性，$(\mathscr{A}^2\alpha, \mathscr{A}^2\alpha) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\alpha) = (\alpha, \alpha)$。由于对称性，$(\mathscr{A}^2\alpha, \alpha) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\alpha) = (\alpha, \alpha)$，且 $(\alpha, \mathscr{A}^2\alpha) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\alpha) = (\alpha, \alpha)$。因此，$(\mathscr{A}^2\alpha - \alpha, \mathscr{A}^2\alpha - \alpha) = (\alpha, \alpha) - 2(\alpha, \alpha) + (\alpha, \alpha) = 0$。由内积正定性得 $\mathscr{A}^2\alpha = \alpha$，故 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$。
公式：$(\mathscr{A}^2\alpha - \alpha, \mathscr{A}^2\alpha - \alpha) = (\mathscr{A}^2\alpha, \mathscr{A}^2\alpha) - 2(\mathscr{A}^2\alpha, \alpha) + (\alpha, \alpha)$
提示：注意利用正交性将 $\mathscr{A}^2$ 的内积转化为 $\mathscr{A}$ 的内积，再转化为 $\alpha$ 的内积。
步骤 3/5
目标：情况二：由(1)和(3)推出(2)
假设 $\mathscr{A}$ 是正交变换且 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$。对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\alpha, \beta) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}^2\beta)$（因为 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$）。由于 $\mathscr{A}$ 正交，$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}^2\beta) = (\alpha, \mathscr{A}\beta)$。因此 $(\mathscr{A}\alpha, \beta) = (\alpha, \mathscr{A}\beta)$，即 $\mathscr{A}$ 对称。
公式：$(\mathscr{A}\alpha, \beta) = (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}^2\beta) = (\alpha, \mathscr{A}\beta)$
提示：关键步骤是将 $\beta$ 写成 $\mathscr{A}^2\beta$，然后利用正交性。
步骤 4/5
目标：情况三：由(2)和(3)推出(1)
假设 $\mathscr{A}$ 是对称变换且 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$。对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \mathscr{A}^2\beta)$（因为 $\mathscr{A}$ 对称）。由于 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$，得 $(\alpha, \mathscr{A}^2\beta) = (\alpha, \beta)$。因此 $(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \beta)$，即 $\mathscr{A}$ 正交。
公式：$(\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha, \mathscr{A}^2\beta) = (\alpha, \beta)$
提示：注意对称性将 $\mathscr{A}$ 从左边移到右边，然后利用 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{E}$ 化简。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，任意两个条件可推出第三个。证毕。
提示：注意三种情况覆盖了所有组合。
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