新疆大学 2026年高等代数第10题

计算 $A^2$ 和 $A^3$： $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 因此 $A^3=0$，$A$ 是幂零矩阵，指数为3。

计算秩： $\operatorname{rank}(A)=2$（第一、二行线性无关），$\operatorname{rank}(A^2)=1$，$\operatorname{rank}(A^3)=0$。 零度（核的维数）： $\dim\ker A = 3-2=1$，$\dim\ker A^2 = 3-1=2$，$\dim\ker A^3 = 3-0=3$。

设 $m_j$ 为大小 $\geq j$ 的若尔当块个数，则 $m_j = \dim\ker A^j - \dim\ker A^{j-1}$（约定 $\dim\ker A^0=0$）。 计算： $m_1 = 1-0=1$，$m_2 = 2-1=1$，$m_3 = 3-2=1$。 因此有一个大小 $\geq 3$ 的块，即一个3阶若尔当块。

由于只有一个3阶若尔当块，$A$ 的若尔当标准型为： $$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

假设存在矩阵 $B$ 使得 $B^2 = A$。由于 $A^3=0$，则 $B^6 = (B^2)^3 = A^3 = 0$，所以 $B$ 也是幂零矩阵，特征值全为0。

B是3×3幂零矩阵，其若尔当块的可能组合有： 1. 三个1阶块（B=0） 2. 一个2阶块和一个1阶块 3. 一个3阶块 分别考虑每种情况下的 $B^2$ 的若尔当标准型。

对于大小为k的若尔当块 $J_k(0)$，其平方的若尔当标准型： - k=1: $J_1(0)^2=0$，即1个1阶零块。 - k=2: $J_2(0)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，即2个1阶零块。 - k=3: $J_3(0)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其若尔当标准型为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，即一个2阶块和一个1阶块。 因此： 情况1：B=0，则 $B^2=0$，但 $A\neq0$，矛盾。 情况2：B有一个2阶块和一个1阶块，则 $B^2$ 的若尔当标准型为三个1阶块（零矩阵），矛盾。 情况3：B有一个3阶块，则 $B^2$ 的若尔当标准型为一个2阶块和一个1阶块，而A的若尔当标准型为一个3阶块，两者不相似，矛盾。

所有可能情况均导致矛盾，因此不存在矩阵 $B$ 使得 $B^2 = A$。