上海理工大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ ，证明 $\displaystyle x_{n}$ 收玫，并求出 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定数列的正性
由 $x_1=1>0$ 及递推公式 $x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$，若 $x_n>0$，则 $x_{n+1}>0$。由数学归纳法知所有 $x_n>0$。
提示：注意递推公式分母为正，确保正性传递。
步骤 2/7
目标：引入函数并分析单调性
定义函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$，在 $(0,+\infty)$ 上连续且单调递减。考虑二阶递推：$x_{n+2}=\frac{1}{1+x_{n+1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_n}}=\frac{1+x_n}{2+x_n}$。令 $g(x)=\frac{1+x}{2+x}$，则 $g'(x)=\frac{1}{(2+x)^2}>0$，故 $g$ 单调递增。
公式：$x_{n+2}=\frac{1+x_n}{2+x_n}$
提示：注意 $g$ 的单调性与 $f$ 不同，$g$ 是递增的。
步骤 3/7
目标：分析奇数子列的单调性
奇数项满足 $x_{2k+1}=g(x_{2k-1})$。计算 $x_1=1$，$x_3=\frac{2}{3}<1$，故 $x_1>x_3$。由 $g$ 递增得 $x_3=g(x_1)>g(x_3)=x_5$，依此类推，奇数项严格递减。且有下界 $0$，故奇数子列收敛。
提示：注意比较初始两项大小以确定单调方向。
步骤 4/7
目标：分析偶数子列的单调性
偶数项满足 $x_{2k+2}=g(x_{2k})$。计算 $x_2=\frac{1}{2}$，$x_4=\frac{3}{5}>\frac{1}{2}$，故 $x_2
提示：注意上界的证明：由 $x_n>0$ 得 $x_{n+1}<1$。
步骤 5/7
目标：设极限并建立方程
设奇数子列极限为 $a$，偶数子列极限为 $b$。由递推 $x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$，取子列得 $b=\frac{1}{1+a}$ 和 $a=\frac{1}{1+b}$。联立消去 $b$ 得 $a=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}}$，即 $a=\frac{1+a}{2+a}$。
公式：$b=\frac{1}{1+a}$，$a=\frac{1}{1+b}$
提示：注意两个子列极限满足相同的关系，但需分别代入。
步骤 6/7
目标：求解极限值
方程 $a=\frac{1+a}{2+a}$ 化为 $a(2+a)=1+a$，即 $a^2+2a=1+a$，整理得 $a^2+a-1=0$。解得 $a=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，由 $a>0$ 舍去负根，得 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。同理 $b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。故 $a=b$，整个数列收敛于此值。
公式：$a^2+a-1=0$
提示：注意舍去负根，因为数列各项为正。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，数列 $\{x_n\}$ 收敛，极限为 $\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
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