东南大学 2020年数学分析第11题
📝 题目
11．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ 。
（1）设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？收敛则证明，不收敛则举出反例。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第(1)问条件，判断收敛性
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $a_n \geq 0$，$\lim_{n \to \infty} b_n = 1$。由于 $b_n \to 1$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|b_n| < 2$，即 $0 \leq a_n b_n \leq 2 a_n$。由比较判别法，$\sum a_n b_n$ 收敛。
公式：$0 \leq a_n b_n \leq 2 a_n$，$\sum 2 a_n$ 收敛
提示：注意正项级数比较判别法的使用条件：$a_n \geq 0$ 保证不等式方向一致。
步骤 2/6
目标：给出第(1)问结论
因此，在 $a_n \geq 0$ 的条件下，$\sum a_n b_n$ 一定收敛。
步骤 3/6
目标：分析第(2)问条件，判断是否一定收敛
去掉 $a_n \geq 0$ 的条件，仅知 $\sum a_n$ 收敛（可能条件收敛），$\lim b_n = 1$。此时 $\sum a_n b_n$ 不一定收敛，需构造反例。
提示：条件收敛级数乘以趋于1的因子可能破坏收敛性。
步骤 4/6
目标：构造反例
取 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，由莱布尼茨判别法知 $\sum a_n$ 收敛（条件收敛）。取 $b_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\lim b_n = 1$。计算 $a_n b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$。
公式：$a_n b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$
提示：注意 $\frac{1}{n}$ 项导致发散。
步骤 5/6
目标：验证反例的发散性
$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛（交错级数），但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散（调和级数），因此 $\sum a_n b_n$ 发散。
提示：收敛级数与发散级数的和必发散。
步骤 6/6
目标：给出第(2)问结论
因此，$\sum a_n b_n$ 不一定收敛，反例如上。
步骤 7/7
目标：问题（2）的结论
因此，$\sum a_n b_n$ 不一定收敛，反例如上所示。
提示：注意条件收敛级数对因子扰动敏感，需谨慎。
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