中国人民大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \theta} \ln \frac{1+t \sin \theta}{1-t \sin \theta} \mathrm{~d} \theta,|t|<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数中的对数部分
利用双曲正切函数的反函数公式：
\[\ln\frac{1+t\sin\theta}{1-t\sin\theta}=2\operatorname{arctanh}(t\sin\theta)\]
因此原积分化为：
\[I(t)=2\int_{0}^{\pi/2} \frac{\operatorname{arctanh}(t\sin\theta)}{\sin\theta}\, d\theta\]
公式：\ln\frac{1+x}{1-x}=2\operatorname{arctanh}x
提示：注意对数定义域要求|t sinθ|<1，由|t|<1且sinθ≤1自动满足
步骤 2/6
目标：将反双曲正切函数展开为幂级数
由于|t|<1且sinθ≤1，可展开：
\[\operatorname{arctanh}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1\]
代入得：
\[\frac{\operatorname{arctanh}(t\sin\theta)}{\sin\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n+1}\sin^{2n}\theta}{2n+1}\]
于是积分化为：
\[I(t)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\,d\theta\]
公式：\operatorname{arctanh}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
提示：注意展开式中只有奇次幂，因为arctanh是奇函数
步骤 3/6
目标：计算Wallis积分
利用Wallis积分公式：
\[\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]
其中双阶乘定义为：(2n-1)!!=1·3·5·...·(2n-1)，(2n)!!=2·4·6·...·(2n)。
公式：\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
提示：当n=0时，( -1)!!定义为1，此时积分值为π/2
步骤 4/6
目标：代入得到级数表达式
将Wallis积分结果代入：
\[I(t)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]
化简得：
\[I(t)=\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\]
公式：I(t)=\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{t^{2n+1}}{2n+1}
提示：注意系数2与π/2相乘得π，不要遗漏
步骤 5/6
目标：识别级数为反正弦函数展开
反正弦函数的泰勒展开式为：
\[\arcsin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|\le 1\]
因此：
\[I(t)=\pi\arcsin t\]
公式：\arcsin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
提示：该级数在|x|=1时也收敛，但题目条件|t|<1保证绝对收敛
步骤 6/6
目标：写出最终结果
所以原积分结果为：
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \theta} \ln \frac{1+t \sin \theta}{1-t \sin \theta} \mathrm{~d} \theta = \pi \arcsin t,\quad |t|<1\]
公式：\boxed{\pi\arcsin t}
提示：结果简洁优美，注意定义域|t|<1
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