北京工业大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=2$ ．证明：在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上存在两个 $\displaystyle \xi_{1}$ 与 $\displaystyle \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用拉格朗日中值定理找到第一个导数为2的点
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 2$。于是 $\frac{1}{f'(c)} = \frac{1}{2}$。
公式：f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 2
提示：注意拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间连续、开区间可导，本题满足。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
令 $h(x) = f(x) - 2x$，则 $h(0)=0$，$h(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\eta \in (0,1)$ 使得 $h'(\eta)=0$，即 $f'(\eta)-2=0$，故 $f'(\eta)=2$。若 $\eta \neq c$，则已找到两个不同点，结论成立。
公式：h'(\eta)=0 \Rightarrow f'(\eta)=2
提示：罗尔定理要求函数在端点值相等，这里 $h(0)=h(1)=0$ 满足条件。
步骤 3/5
目标：处理唯一导数为2的情形（达布定理）
若 $\eta = c$（即唯一导数为2的点），考虑函数 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(0)=0$，$g(1)=1$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0,1)$ 使 $g'(\xi_1)=1$，即 $f'(\xi_1)=2$，这与唯一性矛盾，故必存在另一个导数为2的点。
公式：g'(\xi_1)=1 \Rightarrow f'(\xi_1)=2
提示：达布定理（导数的介值性）保证导数值不会孤立地取到2，但这里用反证法更简洁。
步骤 4/5
目标：构造满足条件的两个点
取 $a \in (0,1)$ 使得 $f(a)=2a$（由 $F(x)=f(x)-2x$ 的零点存在性保证）。在 $[0,a]$ 上由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0,a)$ 使 $f'(\xi_1)=\frac{f(a)}{a}=2$；在 $[a,1]$ 上存在 $\xi_2 \in (a,1)$ 使 $f'(\xi_2)=\frac{2-f(a)}{1-a}=2$。于是 $\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=\frac12+\frac12=1$。
公式：\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=1
提示：关键是找到 $a$ 使 $f(a)=2a$，这由介值定理保证，因为 $F(0)=0$，$F(1)=0$，若 $F$ 不恒为零则必有内点零点。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，无论 $f'$ 是否恒等于2，总存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in (0,1)$，使得 $\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=1$。
公式：\exists \xi_1,\xi_2 \in (0,1): \frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=1
提示：注意两个点必须不同，构造中 $\xi_1 \in (0,a)$，$\xi_2 \in (a,1)$ 自然不同。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在 $\xi_1 \in (0,c)$ 和 $\xi_2 \in (c,1)$，即 $\xi_1, \xi_2 \in (0,1)$ 且 $\xi_1 \neq \xi_2$，使得 $\frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 1$。命题得证。
提示：注意两个点分别取自不同的子区间，确保它们不同。
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