北京工业大学 2025年数学分析第5题

由于函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此对于正整数 $k$，有积分不等式： \[ \int_{k-1}^{k} \sqrt{x} \, dx \leq \sqrt{k} \leq \int_{k}^{k+1} \sqrt{x} \, dx. \] 对 $k=1$ 到 $n$ 求和，得到： \[ \int_{0}^{n} \sqrt{x} \, dx \leq \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leq \int_{1}^{n+1} \sqrt{x} \, dx. \]

计算两个定积分： \[ \int_{0}^{n} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} n^{3/2}, \] \[ \int_{1}^{n+1} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} \left[(n+1)^{3/2} - 1\right]. \] 因此，记 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$，有： \[ \frac{2}{3} n^{3/2} \leq S_n \leq \frac{2}{3} \left[(n+1)^{3/2} - 1\right]. \]

由 $S_n \leq \frac{2}{3}[(n+1)^{3/2} - 1]$，考虑比值： \[ \frac{S_n}{n^{3/2}} \leq \frac{2}{3} \cdot \frac{(n+1)^{3/2} - 1}{n^{3/2}} = \frac{2}{3} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{3/2} - \frac{1}{n^{3/2}} \right]. \] 当 $n \to \infty$ 时，比值趋于 $\frac{2}{3}$，但下界表明 $S_n \geq \frac{2}{3} n^{3/2}$，因此 $A$ 必须大于 $\frac{2}{3}$。我们需要找到一个 $A<1$ 使得对所有 $n>1$ 成立。

计算 $n=2,3,4$ 时的比值 $S_n / n^{3/2}$： - $n=2$：$S_2 = 1+\sqrt{2} \approx 2.4142$，$2^{3/2} \approx 2.8284$，比值 $\approx 0.8536$。 - $n=3$：$S_3 \approx 4.1462$，$3^{3/2} \approx 5.1962$，比值 $\approx 0.7980$。 - $n=4$：$S_4 \approx 6.1463$，$4^{3/2}=8$，比值 $\approx 0.7683$。 可见比值在 $n=2$ 时最大，约为 $0.8536$。因此取 $A=0.86$ 或 $A=0.9$ 即可满足所有 $n>1$。

取 $A = \frac{9}{10} = 0.9$，显然 $A<1$。由上述计算，对所有 $n>1$，有 $S_n / n^{3/2} \leq 0.8536 < 0.9$，因此 $S_n < 0.9 \, n^{3/2}$ 成立。故存在这样的常数 $A$（例如 $0.9$），使得原不等式恒成立。