北京工业大学 2025年数学分析第8题

引入拉格朗日乘子 \(\lambda\)，构造拉格朗日函数： \[ L(x,y,z,\lambda) = x - 2y + 2z - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1) \]

对 \(x\) 求偏导：\(\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0\)，得 \(x = \frac{1}{2\lambda}\)。 对 \(y\) 求偏导：\(\frac{\partial L}{\partial y} = -2 - 2\lambda y = 0\)，得 \(y = -\frac{1}{\lambda}\)。 对 \(z\) 求偏导：\(\frac{\partial L}{\partial z} = 2 - 2\lambda z = 0\)，得 \(z = \frac{1}{\lambda}\)。 对 \(\lambda\) 求偏导得约束条件：\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)。

将 \(x = \frac{1}{2\lambda}\)，\(y = -\frac{1}{\lambda}\)，\(z = \frac{1}{\lambda}\) 代入 \(x^2+y^2+z^2=1\)： \[ \left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = 1 \] 计算得： \[ \frac{1}{4\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{4\lambda^2} + \frac{2}{\lambda^2} = \frac{9}{4\lambda^2} = 1 \] 所以 \(\lambda^2 = \frac{9}{4}\)，即 \(\lambda = \pm \frac{3}{2}\)。

当 \(\lambda = \frac{3}{2}\) 时： \(x = \frac{1}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}\)，\(z = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\)。 当 \(\lambda = -\frac{3}{2}\) 时： \(x = \frac{1}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\)，\(z = \frac{1}{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}\)。

对于点 \((\frac13, -\frac23, \frac23)\)： \[ f = \frac13 - 2\left(-\frac23\right) + 2\left(\frac23\right) = \frac13 + \frac43 + \frac43 = \frac{9}{3} = 3 \] 对于点 \((-\frac13, \frac23, -\frac23)\)： \[ f = -\frac13 - 2\left(\frac23\right) + 2\left(-\frac23\right) = -\frac13 - \frac43 - \frac43 = -\frac{9}{3} = -3 \] 由于球面是紧集，连续函数必有最大最小值，因此最大值为 3，最小值为 -3。

由于约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 是单位球面，是有界闭集，连续函数 $f$ 在其上必有最大值和最小值。计算得到的两个函数值分别为 $3$ 和 $-3$，因此最大值为 $3$，最小值为 $-3$。