北京工业大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．设一致连续的非负函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $f(x) \geq 0$ 在 $[1, +\infty)$ 上一致连续，且积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \, dx < +\infty$。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：\int_1^{+\infty} f(x) \, dx < +\infty, \quad f \text{ 一致连续}
提示：注意一致连续的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
步骤 2/7
目标：反证法假设
假设结论不成立，即存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和趋于无穷的点列 $\{x_n\}$，使得 $f(x_n) \geq \varepsilon_0$。
公式：\exists \varepsilon_0 > 0, \, \{x_n\} \subset [1, +\infty), \, x_n \to +\infty, \, f(x_n) \geq \varepsilon_0
提示：反证法的关键在于构造出与积分收敛矛盾的结论。
步骤 3/7
目标：利用一致连续性得到局部下界
由一致连续性，对 $\varepsilon_0/2 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < \varepsilon_0/2$。特别地，对每个 $x_n$，当 $t \in [x_n - \delta, x_n + \delta]$ 时，有 $f(t) > f(x_n) - \varepsilon_0/2 \geq \varepsilon_0/2$。
公式：|f(t) - f(x_n)| < \frac{\varepsilon_0}{2} \Rightarrow f(t) > f(x_n) - \frac{\varepsilon_0}{2} \geq \frac{\varepsilon_0}{2}
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $\varepsilon_0$，但与 $x_n$ 无关，这是一致连续的关键。
步骤 4/7
目标：估计每个小区间上的积分下界
在区间 $[x_n - \delta, x_n + \delta]$ 上，$f(t) \geq \varepsilon_0/2$，因此该区间上的积分至少为 $\int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f(t) \, dt \geq \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot 2\delta = \varepsilon_0 \delta$。
公式：\int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f(t) \, dt \geq \varepsilon_0 \delta
提示：这里 $\varepsilon_0 \delta$ 是一个正常数，与 $n$ 无关。
步骤 5/7
目标：选取互不相交的子区间
由于 $x_n \to +\infty$，我们可以选取子列 $\{x_{n_k}\}$，使得相邻两点间距大于 $2\delta$（例如取 $x_{n_1} = x_1$，然后依次选取 $x_{n_{k+1}}$ 满足 $x_{n_{k+1}} > x_{n_k} + 2\delta$）。这样区间 $[x_{n_k} - \delta, x_{n_k} + \delta]$ 互不相交。
公式：x_{n_{k+1}} - x_{n_k} > 2\delta \Rightarrow \text{区间互不相交}
提示：互不相交性保证了积分可以累加而不重叠。
步骤 6/7
目标：导出矛盾
由于这些区间互不相交且都包含在 $[1, +\infty)$ 内，积分总和为 $\sum_{k=1}^{\infty} \int_{x_{n_k} - \delta}^{x_{n_k} + \delta} f(t) \, dt \geq \sum_{k=1}^{\infty} \varepsilon_0 \delta = +\infty$，这与 $\int_1^{+\infty} f(x) \, dx < +\infty$ 矛盾。
公式：\sum_{k=1}^{\infty} \varepsilon_0 \delta = +\infty \quad \text{与积分收敛矛盾}
提示：注意积分收敛意味着任意子区间上的积分和必须有限，这里构造了无穷多个正贡献的区间。
步骤 7/7
目标：结论
因此假设不成立，原命题成立，即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
提示：反证法完成，结论得证。
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