华中科技大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（10 分）设点 $\displaystyle A(0,0), B\left(\pi, \pi^{\frac{2}{3}}\right), \Gamma$ 是由 $A$ 沿 $\displaystyle y=x^{\frac{2}{3}}$ 到 $B$ 的曲线段，试求
$$
\int_{\Gamma} \frac{\cos y}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x-\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \sin y \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分表达式与曲线参数
给定曲线 $\Gamma$ 从 $A(0,0)$ 到 $B(\pi, \pi^{2/3})$，沿 $y = x^{2/3}$。积分式为：
$$\int_{\Gamma} \frac{\cos y}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x - \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \sin y \mathrm{~d} y$$
记 $P(x,y) = \dfrac{\cos y}{\sqrt{x^2+1}}$，$Q(x,y) = -\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \sin y$。
公式：$$P(x,y) = \frac{\cos y}{\sqrt{x^2+1}}, \quad Q(x,y) = -\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \sin y$$
提示：注意 $Q$ 前面有负号，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：判断向量场是否保守（与路径无关）
计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-\sin y}{\sqrt{x^2+1}}$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\sin y \cdot \frac{d}{dx}\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right] = -\sin y \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
两者相等，故向量场是保守场，积分与路径无关。
公式：$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{\sin y}{\sqrt{x^2+1}}$$
提示：求导时注意链式法则，$\frac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$。
步骤 3/5
目标：寻找势函数 $F(x,y)$
由 $\frac{\partial F}{\partial x} = P$，对 $x$ 积分：
$$F(x,y) = \int \frac{\cos y}{\sqrt{x^2+1}} dx = \cos y \cdot \ln(x+\sqrt{x^2+1}) + C(y)$$
再对 $y$ 求偏导：
$$\frac{\partial F}{\partial y} = -\sin y \cdot \ln(x+\sqrt{x^2+1}) + C'(y)$$
令其等于 $Q$，得 $C'(y)=0$，取 $C(y)=0$。
公式：$$F(x,y) = \cos y \cdot \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
提示：积分常数 $C(y)$ 只与 $y$ 有关，需通过 $\partial F/\partial y$ 确定。
步骤 4/5
目标：利用势函数计算积分值
保守场中，积分等于终点势函数值减起点势函数值：
$$\int_{\Gamma} Pdx+Qdy = F(B)-F(A)$$
计算起点 $A(0,0)$：
$$F(0,0) = \cos 0 \cdot \ln(0+\sqrt{0+1}) = 1 \cdot \ln 1 = 0$$
计算终点 $B(\pi, \pi^{2/3})$：
$$F(\pi, \pi^{2/3}) = \cos(\pi^{2/3}) \cdot \ln\left(\pi + \sqrt{\pi^2+1}\right)$$
公式：$$\int_{\Gamma} = \cos(\pi^{2/3}) \ln\left(\pi+\sqrt{\pi^2+1}\right)$$
提示：注意 $\pi^{2/3}$ 不是特殊角，保留原形式即可。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
积分结果为：
$$\boxed{\cos(\pi^{2/3}) \ln\left(\pi+\sqrt{\pi^{2}+1}\right)}$$
公式：$$\boxed{\cos(\pi^{2/3}) \ln\left(\pi+\sqrt{\pi^{2}+1}\right)}$$
提示：检查是否化简到最简形式，无需进一步数值计算。
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