华中科技大学 2026年数学分析第7题

已知 $x_1 = \frac{2025}{2026} \in (0,1)$，且对于任意 $t>0$，有 $\sin t < t$。由于 $x_1 \in (0,\pi)$，则 $0 < x_2 = \sin x_1 < x_1$。依此类推，数列 $\{x_n\}$ 严格递减且有下界 $0$，故极限存在，设极限为 $L$。

对递推式两边取极限得 $L = \sin L$。在实数范围内，方程 $\sin L = L$ 的唯一解是 $L=0$，因此 $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$。

当 $x_n$ 很小时，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，代入递推得 $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3}{6} + O(x_n^5)$。

令 $y_n = \frac{1}{x_n^2}$，则 $x_{n+1} = x_n\left(1 - \frac{x_n^2}{6} + O(x_n^4)\right)$。取倒数平方并展开：$\frac{1}{x_{n+1}^2} = \frac{1}{x_n^2} \cdot \frac{1}{\left(1 - \frac{x_n^2}{6} + O(x_n^4)\right)^2} = \frac{1}{x_n^2}\left(1 + \frac{x_n^2}{3} + O(x_n^4)\right)$，即 $y_{n+1} = y_n + \frac{1}{3} + O(x_n^2)$。

由于 $x_n \to 0$，$O(x_n^2) \to 0$，故当 $n$ 很大时 $y_{n+1} - y_n \to \frac{1}{3}$。由Stolz定理或累加得 $\frac{y_n}{n} \to \frac{1}{3}$，即 $\frac{1}{n x_n^2} \to \frac{1}{3}$，从而 $n x_n^2 \to 3$。

由 $n x_n^2 \to 3$ 得 $\sqrt{n}\, x_n \to \sqrt{3}$，即 $n^{1/2} x_n \to \sqrt{3}$。因此取 $m=2$，常数 $c = \sqrt{3}$，满足存在正整数 $m$ 使得 $\lim_{n\to\infty} n^{1/m} x_n = c$。