南京理工大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性，偏导数的存在性，可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：讨论连续性
要判断函数在原点是否连续，需考察极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否存在且等于 $f(0,0)=0$。沿不同路径趋近：
- 沿 $x$ 轴（$y=0$）：$f(x,0)=0$，极限为 $0$。
- 沿 $y$ 轴（$x=0$）：$f(0,y)=0$，极限为 $0$。
- 沿曲线 $x=y^2$：代入得 $f(y^2,y)=\frac{y^2\cdot y^2}{y^4+y^4}=\frac{1}{2}$，极限为 $\frac{1}{2}\neq 0$。
由于不同路径极限不同，故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不连续。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在
提示：注意选择特殊路径（如 $x=y^2$）时，分母 $x^2+y^4$ 变为 $2y^4$，分子为 $y^4$，得到非零常数，这是判断不连续的关键。
步骤 2/4
目标：讨论偏导数的存在性
利用偏导数定义：
- 对 $x$ 的偏导：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$，存在。
- 对 $y$ 的偏导：$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$，存在。
因此两个一阶偏导数在原点都存在且为 $0$。
公式：$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$
提示：偏导数存在只依赖于沿坐标轴方向的变化，与连续性无关，即使函数不连续，偏导数也可能存在。
步骤 3/4
目标：讨论可微性
可微的必要条件是函数在该点连续，但已证不连续，故不可微。也可直接验证可微定义：若可微，则应有 $f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k=o(\sqrt{h^2+k^2})$，即 $\frac{h k^2}{h^2+k^4}=o(\sqrt{h^2+k^2})$。取路径 $h=t^2,\,k=t$，则左边为 $\frac{t^2\cdot t^2}{t^4+t^4}=\frac{1}{2}$，而 $\sqrt{h^2+k^2}=\sqrt{t^4+t^2}\sim |t|$，比值 $\frac{1/2}{|t|}\to\infty$，不是无穷小，故不可微。
公式：$\frac{h k^2}{h^2+k^4}$ 沿 $h=t^2,k=t$ 不是 $o(\sqrt{h^2+k^2})$
提示：可微性要求所有方向上的线性逼近误差都是高阶无穷小，而沿曲线 $h=t^2,k=t$ 时误差为常数，直接否定了可微性。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合以上讨论：
- 函数在 $(0,0)$ 处不连续；
- 两个一阶偏导数存在且均为 $0$；
- 函数在 $(0,0)$ 处不可微。
公式：无
提示：此例说明偏导数存在不能推出连续，更不能推出可微，是多元函数微分学中的经典反例。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上讨论：函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续，但两个一阶偏导数都存在（均为 $0$），不可微。
提示：偏导数存在不能推出连续，更不能推出可微；连续是可微的必要条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续，偏导数存在，但不可微。
提示：注意：偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件。
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