南京理工大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}$ ．
（2）（可能有误） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\sin x}{e^{x}-1}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将求和表达式改写为便于放缩的形式
将原和式 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k/n}}{n + 1/k}$ 改写为 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k/n}}{n(1 + 1/(kn))}$，以便利用 $1/(kn) \le 1/n$ 进行放缩。
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k/n}}{n(1 + 1/(kn))}
提示：注意分母中 $1/k$ 相对于 $n$ 很小，但不可直接忽略，需用夹逼法处理。
步骤 2/8
目标：利用不等式进行夹逼
由于 $n \le n + 1/k \le n+1$，对每个 $k$ 有 $\frac{2^{k/n}}{n+1} \le \frac{2^{k/n}}{n+1/k} \le \frac{2^{k/n}}{n}$，从而得到 $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n 2^{k/n} \le S_n \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 2^{k/n}$。
公式：\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n 2^{k/n} \le S_n \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n 2^{k/n}
提示：放缩时注意分母越大值越小，因此下界用 $n+1$，上界用 $n$。
步骤 3/8
目标：计算等比数列的和
$\sum_{k=1}^n 2^{k/n}$ 是首项 $2^{1/n}$、公比 $2^{1/n}$、项数 $n$ 的等比数列，和为 $2^{1/n} \cdot \frac{2^{n/n} - 1}{2^{1/n} - 1} = \frac{2^{1/n}}{2^{1/n} - 1}$。
公式：\sum_{k=1}^n 2^{k/n} = \frac{2^{1/n}}{2^{1/n} - 1}
提示：等比数列求和公式 $S = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$，这里 $a_1 = 2^{1/n}$，$q = 2^{1/n}$。
步骤 4/8
目标：代入夹逼不等式并求渐近行为
代入得 $S_n \le \frac{1}{n} \cdot \frac{2^{1/n}}{2^{1/n} - 1}$，$S_n \ge \frac{1}{n+1} \cdot \frac{2^{1/n}}{2^{1/n} - 1}$。当 $n \to \infty$ 时，$2^{1/n} = e^{(\ln 2)/n} = 1 + \frac{\ln 2}{n} + O(1/n^2)$，故 $2^{1/n} - 1 \sim \frac{\ln 2}{n}$，从而 $\frac{2^{1/n}}{2^{1/n} - 1} \sim \frac{n}{\ln 2}$。
公式：2^{1/n} - 1 \sim \frac{\ln 2}{n} \quad (n \to \infty)
提示：利用等价无穷小 $e^t - 1 \sim t$ 当 $t \to 0$，这里 $t = (\ln 2)/n$。
步骤 5/8
目标：由夹逼定理得出极限
上界：$\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$；下界：$\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n}{\ln 2} \to \frac{1}{\ln 2}$。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{\ln 2}$。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{\ln 2}
提示：夹逼定理要求上下界极限相等，此处上下界均趋于 $1/\ln 2$。
步骤 6/8
目标：第二题：通分并化简表达式
原式 $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\sin x}{e^x - 1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - \sin^2 x}{\sin x (e^x - 1)}$。
公式：L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - \sin^2 x}{\sin x (e^x - 1)}
提示：通分时注意分母为 $\sin x (e^x - 1)$，分子为 $e^x - 1 - \sin^2 x$。
步骤 7/8
目标：使用泰勒展开到足够阶数
当 $x \to 0$ 时，$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，故 $\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$。分子：$e^x - 1 - \sin^2 x = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - x^2 + O(x^4) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。分母：$\sin x (e^x - 1) = (x - \frac{x^3}{6} + \cdots)(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots) = x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)$。
公式：\text{分子} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4), \quad \text{分母} = x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)
提示：泰勒展开时需保证分子分母的最低阶项准确，此处分子最低阶为 $x$，分母为 $x^2$。
步骤 8/8
目标：计算分式的渐近展开并判断极限
分式 $= \frac{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots}{x^2 + \frac{x^3}{2} + \cdots} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \cdots}{1 + \frac{x}{2} + \cdots}$。将 $\frac{1}{1 + x/2}$ 展开为 $1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + O(x^3)$，相乘得 $\frac{1}{x} \left(1 - x + \frac{2}{3}x^2 + O(x^3)\right) = \frac{1}{x} - 1 + \frac{2}{3}x + O(x^2)$。当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 项趋于无穷，故极限不存在（$x \to 0^+$ 时为 $+\infty$，$x \to 0^-$ 时为 $-\infty$）。
公式：\frac{1}{\sin x} - \frac{\sin x}{e^x - 1} = \frac{1}{x} - 1 + O(x) \quad (x \to 0)
提示：注意 $1/x$ 项导致双侧极限不同，因此极限不存在。
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