📝 南京理工大学 2026年数学分析真题

1．解答如下问题：
（1）利用定义证明：$\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．
（2）利用定积分定义证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ．

2．求极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}$ ．
（2）（可能有误） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\sin x}{e^{x}-1}\right)$ ．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性，偏导数的存在性，可微性．

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{n+3} x^{n}$ 的收玫域以及和函数．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有连续的导数，记 $\displaystyle F_{n}(x)=n f\left(x+\frac{1}{n}\right)-n f(x)$ ．
（1）若 $I$ 为有界闭区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由．
（2）若 $I$ 为有界开区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求曲线积分

$$
\int_{L} \frac{1+y^{2} f(x y)}{y} \mathrm{~d} x+\frac{x\left(y^{2} f(x y)-1\right)}{y^{2}} \mathrm{~d} y
$$

其中 $L$ 为 $\displaystyle \left(3, \frac{2}{3}\right)$ 指向 $\displaystyle (1,2)$ 的直线．

7．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，并求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{2}(x y)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

8．求曲面积分

$$
\oiint_{\Omega} \frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Omega$ 是区域 $\displaystyle |x| \leq 3,|y| \leq 5,|z| \leq 4$ 的表面，方向向外．

9．解答如下问题：
（1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义．
（2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．