南京理工大学 2026年数学分析第4题

设 $a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{n+3}$，利用比值审敛法求收敛半径： $$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)(n+3)}{n+4} \cdot \frac{n+3}{(n+1)(n+2)} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)^2}{(n+4)(n+1)} = 1. $$ 因此收敛半径 $R = 1$。

当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)(n+2)}{n+3}$，通项 $\sim n$，不趋于0，发散。 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(n+1)(n+2)}{n+3}$，通项绝对值不趋于0，发散。 故收敛域为开区间 $(-1, 1)$。

将分子 $(n+1)(n+2) = n^2+3n+2$ 除以 $n+3$： $$ \frac{n^2+3n+2}{n+3} = n + \frac{2}{n+3}. $$ 因此原级数可拆为两个级数之和： $$ S(x) = \sum_{n=0}^\infty n x^n + 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+3}. $$

已知 $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$，两边求导得 $\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$， 乘以 $x$ 得 $\sum_{n=0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$（$n=0$ 项为0）。

令 $T(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+3}$，令 $k=n+3$，则 $$ T(x) = \sum_{k=3}^\infty \frac{x^{k-3}}{k} = \frac{1}{x^3} \sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k}. $$ 利用 $\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$，得 $$ \sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2}. $$ 因此 $$ T(x) = \frac{-\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}. $$

将两部分结果合并： $$ S(x) = \frac{x}{(1-x)^2} + 2 \cdot \frac{-\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}. $$ 化简得： $$ S(x) = \frac{x}{(1-x)^2} - \frac{2\ln(1-x)}{x^3} - \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x}, \quad 0<|x|<1. $$ 当 $x=0$ 时，原级数 $S(0) = a_0 = \frac{2}{3}$。

因此 $S(x) = \frac{x}{(1-x)^2} + 2\left( -\frac{1}{2x} - \frac{1}{x^2} - \frac{\ln(1-x)}{x^3} \right) = \frac{x}{(1-x)^2} - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} - \frac{2\ln(1-x)}{x^3}$，其中 $x \in (-1,1)\setminus\{0\}$。当 $x=0$ 时，由原级数得 $S(0)=\frac{2}{3}$。