南京理工大学 2026年数学分析第5题

给定函数列 $F_n(x) = n f\left(x+\frac{1}{n}\right) - n f(x)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n(x) \in \left(x, x+\frac{1}{n}\right)$，使得 $F_n(x) = f'(\xi_n(x))$。由于 $f'$ 连续，当 $n \to \infty$ 时，$\xi_n(x) \to x$，故逐点极限为 $\lim_{n\to\infty} F_n(x) = f'(x)$。

设 $I=[a,b]$ 为有界闭区间。由于 $f'$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f'$ 一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|u-v|<\delta$ 时 $|f'(u)-f'(v)|<\varepsilon$。取 $N > 1/\delta$，则对所有 $n>N$ 和所有 $x\in[a,b]$，有 $|\xi_n(x)-x| < 1/n < \delta$，从而 $|F_n(x)-f'(x)| = |f'(\xi_n(x))-f'(x)| < \varepsilon$ 对所有 $x$ 同时成立。因此 $\{F_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f'(x)$。

设 $I=(a,b)$ 为有界开区间。此时 $f'$ 在开区间上连续，但不一定一致连续（例如在端点附近可能无界或震荡）。考虑反例：取 $I=(0,1)$，$f(x)=1/x$，则 $f'(x)=-1/x^2$ 在 $(0,1)$ 上连续但无界。对于固定的 $n$，当 $x$ 充分接近 $0$ 时，$F_n(x)$ 与 $f'(x)$ 的差无法被一致控制，因此不一致收敛。另一个反例：$f(x)=x^2\sin(1/x)$（补充定义 $f(0)=0$），其导数 $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ 在 $(0,1)$ 上连续但不一致连续，同样导致不一致收敛。因此，在有界开区间上，不能保证一致收敛。

（1）当 $I$ 为有界闭区间时，$\{F_n(x)\}$ 一致收敛于 $f'(x)$。（2）当 $I$ 为有界开区间时，$\{F_n(x)\}$ 不一定一致收敛，通常存在反例使得收敛不一致。

（1）有界闭区间上一致收敛，理由：由拉格朗日中值定理及导函数一致连续性可得。 （2）有界开区间上不一定一致收敛（通常不一致收敛），因为开区间端点附近可能使函数列定义不完全或导数无界破坏一致性。

（1）若 $I$ 为有界闭区间，则 $\{F_n(x)\}$ 一致收敛到 $f'(x)$。（2）若 $I$ 为有界开区间，则 $\{F_n(x)\}$ 不一定一致收敛，例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $(0,1)$ 上不一致收敛。