南京理工大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求曲线积分
$$
\int_{L} \frac{1+y^{2} f(x y)}{y} \mathrm{~d} x+\frac{x\left(y^{2} f(x y)-1\right)}{y^{2}} \mathrm{~d} y
$$
其中 $L$ 为 $\displaystyle \left(3, \frac{2}{3}\right)$ 指向 $\displaystyle (1,2)$ 的直线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断曲线积分是否与路径无关
设 $P(x,y) = \frac{1+y^{2} f(x y)}{y} = \frac{1}{y} + y f(xy)$，$Q(x,y) = \frac{x\left(y^{2} f(x y)-1\right)}{y^{2}} = x f(xy) - \frac{x}{y^{2}}$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^{2}} + f(xy) + y \cdot f'(xy) \cdot x = -\frac{1}{y^{2}} + f(xy) + xy f'(xy)$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x \cdot f'(xy) \cdot y - \frac{1}{y^{2}} = f(xy) + xy f'(xy) - \frac{1}{y^{2}}$
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，在 $y>0$ 的单连通区域内积分与路径无关。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意 $f(xy)$ 是复合函数，求偏导时要使用链式法则，且 $y \neq 0$。
步骤 2/5
目标：选择便于计算的折线路径
起点 $A\left(3, \frac{2}{3}\right)$，终点 $B(1,2)$。选择折线路径：先垂直从 $A$ 到 $C(3,2)$，再水平从 $C$ 到 $B$。此路径始终满足 $y>0$，保证路径无关性成立。
公式：路径分段：$L_1: x=3, y: \frac{2}{3} \to 2$；$L_2: y=2, x: 3 \to 1$
提示：选择路径时应避免 $y=0$ 的点，因为分母含 $y$。
步骤 3/5
目标：计算第一段竖直路径的积分
在 $L_1$ 上，$x=3$ 常数，$dx=0$，积分化为 $\int_{y=2/3}^{2} Q(3,y) dy$。
$Q(3,y) = \frac{3(y^2 f(3y)-1)}{y^2} = 3f(3y) - \frac{3}{y^2}$
$I_1 = \int_{2/3}^{2} \left(3f(3y) - \frac{3}{y^2}\right) dy = 3\int_{2/3}^{2} f(3y) dy - 3\int_{2/3}^{2} y^{-2} dy$
计算后一部分：$-3\left[-\frac{1}{y}\right]_{2/3}^{2} = -3\left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right) = -3$
前一部分令 $u=3y$，$dy=du/3$，积分限 $u:2\to6$，得 $3\int_{2}^{6} f(u) \cdot \frac{du}{3} = \int_{2}^{6} f(u) du$
故 $I_1 = \int_{2}^{6} f(u) du - 3$
公式：$I_1 = \int_{2}^{6} f(u) du - 3$
提示：注意竖直路径的积分变量是 $y$，且 $x$ 固定为3，不要忘记换元时积分限的变化。
步骤 4/5
目标：计算第二段水平路径的积分
在 $L_2$ 上，$y=2$ 常数，$dy=0$，积分化为 $\int_{x=3}^{1} P(x,2) dx$（注意方向从3到1）。
$P(x,2) = \frac{1+4 f(2x)}{2} = \frac{1}{2} + 2f(2x)$
$I_2 = \int_{3}^{1} \left(\frac{1}{2} + 2f(2x)\right) dx = -\int_{1}^{3} \left(\frac{1}{2} + 2f(2x)\right) dx$
拆开：$-\int_{1}^{3} \frac{1}{2} dx - 2\int_{1}^{3} f(2x) dx = -\frac{1}{2}(3-1) - 2\int_{1}^{3} f(2x) dx = -1 - 2\int_{1}^{3} f(2x) dx$
令 $u=2x$，$dx=du/2$，积分限 $u:2\to6$，得 $-2\int_{2}^{6} f(u) \cdot \frac{du}{2} = -\int_{2}^{6} f(u) du$
故 $I_2 = -1 - \int_{2}^{6} f(u) du$
公式：$I_2 = -1 - \int_{2}^{6} f(u) du$
提示：水平路径积分时注意积分方向是从 $x=3$ 到 $x=1$，需交换上下限并加负号。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
总积分 $I = I_1 + I_2 = \left(\int_{2}^{6} f(u) du - 3\right) + \left(-1 - \int_{2}^{6} f(u) du\right) = -4$。
可见结果与 $f$ 的具体形式无关，被积函数中的 $f$ 项恰好抵消。
公式：$I = -4$
提示：最终结果是一个常数，说明该曲线积分在给定路径下与函数 $f$ 无关，这是由偏导数相等保证的。
步骤 6/7
目标：化简第二段积分
计算 $I_2$：
$I_2 = \int_{2/3}^{2} f(y) dy - \int_{2/3}^{2} \frac{1}{y^2} dy = \int_{2/3}^{2} f(y) dy - \left[ -\frac{1}{y} \right]_{2/3}^{2} = \int_{2/3}^{2} f(y) dy - \left( -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) = \int_{2/3}^{2} f(y) dy - 1$。
公式：\int \frac{1}{y^2} dy = -\frac{1}{y}
提示：计算定积分时注意代入上下限。
步骤 7/7
目标：合并两段积分得到最终结果
总积分 $I = I_1 + I_2 = \left( -3 - \int_{2/3}^{2} f(u) du \right) + \left( \int_{2/3}^{2} f(y) dy - 1 \right) = -4$。
注意积分变量名称无关，$\int_{2/3}^{2} f(u) du = \int_{2/3}^{2} f(y) dy$，相互抵消。
提示：最终结果与 $f$ 的具体形式无关，为常数 $-4$。
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