南京理工大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，并求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{2}(x y)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入含参积分，将原积分转化为含参积分在参数为0时的值
考虑含参积分 $I(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-t x} \, dx$，其中 $t \ge 0$。当 $t=0$ 时，$I(0) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$，即所求积分。
公式：$I(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-t x} \, dx$
提示：引入指数因子 $e^{-tx}$ 是为了保证积分在无穷远处收敛，并便于求导。
步骤 2/7
目标：对含参积分求导，转化为一个简单的拉普拉斯积分
对 $I(t)$ 关于 $t$ 求导（在积分号下求导是合法的，因为被积函数及其导数连续且积分一致收敛）：$I'(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot (-x) e^{-t x} \, dx = -\int_{0}^{+\infty} \sin x \, e^{-t x} \, dx$。计算该拉普拉斯积分：$\int_{0}^{+\infty} \sin x \, e^{-t x} \, dx = \frac{1}{t^2+1}$。
公式：$I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}$
提示：注意 $\frac{\sin x}{x} \cdot (-x) = -\sin x$，约去了分母 $x$，简化了计算。
步骤 3/7
目标：积分求出 $I(t)$ 的表达式，并利用极限确定常数
对 $I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}$ 积分得 $I(t) = -\arctan t + C$。当 $t \to +\infty$ 时，$e^{-tx}$ 使被积函数趋于0，故 $I(\infty)=0$。而 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，代入得 $0 = -\frac{\pi}{2} + C$，所以 $C = \frac{\pi}{2}$。因此 $I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan t$。
公式：$I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan t$
提示：确定常数时，利用 $t \to +\infty$ 时积分趋于0的性质，这是含参积分常用的技巧。
步骤 4/7
目标：令 $t=0$ 得到经典积分值
令 $t=0$，则 $I(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2}$。因此 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$，证毕。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$
提示：这是Dirichlet积分，是数学分析中的重要结论。
步骤 5/7
目标：利用三角恒等式化简第二个积分
对于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(xy)}{x^{2}} \, dx$，使用恒等式 $\sin^{2}(xy) = \frac{1 - \cos(2xy)}{2}$，则原积分变为 $\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(2xy)}{x^{2}} \, dx$。
公式：$\sin^{2}(xy) = \frac{1 - \cos(2xy)}{2}$
提示：将平方正弦转化为余弦形式，便于利用已知积分公式。
步骤 6/7
目标：推导一般积分公式 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(ax)}{x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{2}|a|$
令 $J(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(ax)}{x^{2}} \, dx$（$a>0$）。对 $a$ 求导：$J'(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} \, dx$。由第一步结论，$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$（$a>0$），故 $J'(a) = \frac{\pi}{2}$。积分得 $J(a) = \frac{\pi}{2}a + C$。当 $a=0$ 时，$J(0)=0$，所以 $C=0$。因此 $J(a) = \frac{\pi}{2}a$。对于 $a<0$，由偶函数性质得 $J(a) = \frac{\pi}{2}|a|$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(ax)}{x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{2}|a|$
提示：求导后转化为已知的 $\frac{\sin(ax)}{x}$ 积分，注意 $a=0$ 时积分为0用于确定常数。
步骤 7/7
目标：代入参数并得到最终结果
在公式中令 $a = 2y$，则 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(2xy)}{x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot |2y| = \pi |y|$。代入原积分：$\frac{1}{2} \cdot \pi |y| = \frac{\pi}{2} |y|$。因此 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(xy)}{x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{2} |y|$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^{2}(xy)}{x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{2} |y|$
提示：注意 $y$ 以平方形式出现在被积函数中，结果应为 $|y|$ 的线性函数，而非 $y$ 本身。
步骤 8/8
目标：给出最终结论
综合以上步骤，得到两个积分的结果：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$，以及 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2(xy)}{x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} |y|$（当 $y>0$ 时简化为 $\frac{\pi}{2} y$）。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2(xy)}{x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} |y|$
提示：注意绝对值处理，因为原积分中 $y$ 可正可负，但 $\sin^2$ 是偶函数，结果依赖于 $|y|$。
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