南京理工大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．求曲面积分
$$
\oiint_{\Omega} \frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Omega$ 是区域 $\displaystyle |x| \leq 3,|y| \leq 5,|z| \leq 4$ 的表面，方向向外．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别向量场与区域特征
将曲面积分表示为第二类曲面积分形式：
\[ \iint_{\Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \]
其中向量场
\[ \mathbf{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right) = \frac{\mathbf{r}}{r^3} \]
区域 $\Omega$ 是长方体 $|x|\le 3, |y|\le 5, |z|\le 4$ 的边界曲面，方向向外。原点 $(0,0,0)$ 在长方体内部，因此向量场在区域内存在奇点。
公式：\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^3}, \quad \mathbf{r} = (x,y,z), \quad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
提示：注意奇点位置，不能直接应用高斯公式。
步骤 2/6
目标：挖去奇点，构造无奇点区域
在原点周围挖去一个半径为 $\varepsilon$ 的小球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2$，取内侧方向（指向原点）。记原长方体外表面为 $S$（即 $\Omega$），则 $S$ 与 $S_\varepsilon$（内法向）构成一个封闭曲面，包围区域 $V$（长方体减去小球内部）。对 $V$ 应用高斯公式：
\[ \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{内}} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \]
公式：\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{内}} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
提示：小球面取内法向是为了使封闭曲面方向一致（外侧）。
步骤 3/6
目标：计算散度并化简
在 $r \neq 0$ 处计算散度：
\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{r^2 - 3z^2}{r^5} \]
相加得：
\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0 \]
因此 $\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 0$，从而
\[ \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = - \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{内}} \]
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = 0 \quad (r \neq 0)
提示：散度为零是简化关键。
步骤 4/6
目标：将内法向积分转化为外法向积分
设小球面外法向为 $d\mathbf{S}_{\text{外}}$，则内法向 $d\mathbf{S}_{\text{内}} = - d\mathbf{S}_{\text{外}}$，代入得：
\[ - \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{内}} = - \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot (- d\mathbf{S}_{\text{外}}) = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{外}} \]
因此原积分等于小球面外法向的积分：
\[ \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{外}} \]
公式：d\mathbf{S}_{\text{内}} = - d\mathbf{S}_{\text{外}}
提示：注意方向转换的符号。
步骤 5/6
目标：计算小球面上的积分
在小球面 $r = \varepsilon$ 上，外法向单位向量 $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{r} = \frac{\mathbf{r}}{\varepsilon}$，且 $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{\varepsilon^3}$，于是
\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{\text{外}} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{\mathbf{r}}{\varepsilon^3} \cdot \frac{\mathbf{r}}{\varepsilon} \, dS = \frac{r^2}{\varepsilon^4} \, dS = \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^4} \, dS = \frac{1}{\varepsilon^2} \, dS \]
积分得：
\[ \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{外}} = \frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{S_\varepsilon} dS = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi \varepsilon^2 = 4\pi \]
公式：\iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}_{\text{外}} = 4\pi
提示：小球面积 $4\pi\varepsilon^2$ 与 $\varepsilon^2$ 约简。
步骤 6/6
目标：得出原积分结果
由前几步推导，原曲面积分等于小球面外法向积分，即 $4\pi$。
公式：\oiint_{\Omega} \frac{x}{r^3} dy dz + \frac{y}{r^3} dz dx + \frac{z}{r^3} dx dy = 4\pi
提示：结果与长方体尺寸无关，只取决于原点是否被包围。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。