南京理工大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．解答如下问题：
（1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义．
（2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：叙述有限覆盖定理和一致连续的定义
有限覆盖定理（Heine–Borel定理）：设 \([a,b]\) 是一个闭区间，如果有一族开区间 \(\{U_\alpha\}\) 覆盖了 \([a,b]\)（即 \([a,b] \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha\)），那么可以从这族开区间中选出有限个开区间，它们仍然能覆盖 \([a,b]\)。简单说：闭区间上的任意开覆盖都有有限子覆盖。
一致连续的定义：设函数 \(f\) 定义在区间 \(I\) 上。如果对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在一个 \(\delta > 0\)，使得对任意 \(x_1, x_2 \in I\)，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)，则称 \(f\) 在区间 \(I\) 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：一致连续的 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，而与点的位置无关；逐点连续的 \(\delta\) 可能依赖于 \(\varepsilon\) 和点 \(x\)。
步骤 2/7
目标：利用连续性构造每个点的开邻域
设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续。对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，对每一点 \(x \in [a,b]\)，由连续的定义，存在一个 \(\delta_x > 0\)，使得当 \(|y - x| < \delta_x\) 且 \(y \in [a,b]\) 时，有 \(|f(y) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}\)。
考虑每个点 \(x\) 的一个开邻域：\(U_x = \left( x - \frac{\delta_x}{2}, x + \frac{\delta_x}{2} \right)\)。显然，这些开区间构成的集合 \(\{U_x : x \in [a,b]\}\) 覆盖了整个闭区间 \([a,b]\)。
公式：U_x = \left( x - \frac{\delta_x}{2}, x + \frac{\delta_x}{2} \right), \quad [a,b] \subseteq \bigcup_{x \in [a,b]} U_x
提示：这里取半径为 \(\frac{\delta_x}{2}\) 而不是 \(\delta_x\)，是为了后续三角不等式推导时留出余地，确保两个点能落在同一个 \(\delta_x\) 邻域内。
步骤 3/7
目标：应用有限覆盖定理选取有限子覆盖
根据有限覆盖定理，可以从这族开区间 \(\{U_x : x \in [a,b]\}\) 中选出有限个，比如 \(U_{x_1}, U_{x_2}, \dots, U_{x_n}\)，它们仍然覆盖 \([a,b]\)。即 \([a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n U_{x_k}\)。
公式：[a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n U_{x_k}
提示：有限覆盖定理是证明的关键，它把无限多个邻域缩减为有限个，从而可以取最小的 \(\delta\)。
步骤 4/7
目标：定义一致连续所需的 \(\delta\)
令 \(\delta = \min\left\{ \frac{\delta_{x_1}}{2}, \frac{\delta_{x_2}}{2}, \dots, \frac{\delta_{x_n}}{2} \right\} > 0\)。由于是有限个正数的最小值，所以 \(\delta > 0\)。
公式：\delta = \min_{1 \le k \le n} \frac{\delta_{x_k}}{2} > 0
提示：最小值的存在依赖于有限性，如果无限个正数，最小值可能为0，这正是有限覆盖定理发挥作用的地方。
步骤 5/7
目标：任取两点并利用覆盖找到共同中心
现在任取两点 \(u, v \in [a,b]\)，满足 \(|u - v| < \delta\)。因为有限个开区间覆盖了 \([a,b]\)，所以存在某个 \(x_k\) 使得 \(u \in U_{x_k}\)，即 \(|u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2}\)。
又因为 \(|u - v| < \delta \le \frac{\delta_{x_k}}{2}\)，由三角不等式可得：
\[|v - x_k| \le |v - u| + |u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2} + \frac{\delta_{x_k}}{2} = \delta_{x_k}.\]
公式：|v - x_k| \le |v - u| + |u - x_k| < \delta_{x_k}
提示：三角不等式的使用是核心技巧，确保 \(u\) 和 \(v\) 都落在 \(x_k\) 的 \(\delta_{x_k}\) 邻域内。
步骤 6/7
目标：利用连续性估计函数值差
于是，\(u\) 和 \(v\) 都在以 \(x_k\) 为中心、\(\delta_{x_k}\) 为半径的区间内。由第1步的连续性条件（取 \(\frac{\varepsilon}{2}\) 为精度），有：
\[|f(u) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad |f(v) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2}.\]
因此，由三角不等式：
\[|f(u) - f(v)| \le |f(u) - f(x_k)| + |f(v) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]
公式：|f(u) - f(v)| \le |f(u) - f(x_k)| + |f(v) - f(x_k)| < \varepsilon
提示：注意这里连续性的精度取 \(\frac{\varepsilon}{2}\) 而不是 \(\varepsilon\)，是为了最终和小于 \(\varepsilon\)，这是证明中的常用技巧。
步骤 7/7
目标：总结一致连续的证明
这就证明了：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)（即上面定义的 \(\delta\)），使得对任意 \(u, v \in [a,b]\)，只要 \(|u - v| < \delta\)，就有 \(|f(u) - f(v)| < \varepsilon\)。因此，\(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上一致连续。证毕。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall u,v \in [a,b]: |u-v| < \delta \Rightarrow |f(u)-f(v)| < \varepsilon
提示：证明的关键在于：利用有限覆盖定理将局部连续性的 \(\delta_x\) 统一为全局的 \(\delta\)，这正是从逐点连续到一致连续的桥梁。
步骤 8/8
目标：总结结论
这样就证明了对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)（仅依赖于 \(\varepsilon\)），使得对任意 \(x,y \in [a,b]\)，只要 \(|x-y|<\delta\)，就有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)。这正是函数在闭区间上一致连续的定义。证毕。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in[a,b]: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：注意整个证明中 \(\delta\) 的选取不依赖于 \(x\) 和 \(y\) 的具体位置，只依赖于 \(\varepsilon\) 和有限覆盖，因此是一致连续的。
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