南京理工大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．解答如下问题：
（1）利用定义证明：$\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．
（2）利用定积分定义证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出导数定义并代入函数
由导数定义，$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。令 $f(x)=\cos x$，则
$$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}.$$
公式：f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
提示：注意导数定义中分母是h，分子是函数值的差。
步骤 2/8
目标：利用三角恒等式化简分子
使用和差化积公式：
$$\cos(x+h)-\cos x = -2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right).$$
公式：\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
提示：注意符号，不要漏掉负号。
步骤 3/8
目标：代入极限并变形
将化简结果代入极限：
$$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.$$
将分母 $h$ 写成 $2\cdot\frac{h}{2}$，得
$$= \lim_{h \to 0} \left[-\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right].$$
公式：\frac{\sin t}{t} \to 1 \ (t \to 0)
提示：变形时注意保持等式成立，不要随意改变分子分母。
步骤 4/8
目标：应用重要极限并得出结论
当 $h \to 0$ 时，$\frac{h}{2} \to 0$，由重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1$，得
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2}=1, \quad \lim_{h \to 0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)=\sin x.$$
因此
$$(\cos x)' = -\sin x.$$
公式：\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=1
提示：重要极限的使用条件是自变量趋于0，注意验证。
步骤 5/8
目标：写出定积分定义并划分区间
定积分定义为 $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$。取 $a=0,b=1$，等分区间，$\Delta x = \frac{1}{n}$，取右端点 $x_i^* = \frac{i}{n}$，则
$$\int_0^1 x^3\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^3 \cdot \frac{1}{n}.$$
公式：\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x
提示：注意采样点的选取（右端点）以及区间等分。
步骤 6/8
目标：化简求和表达式
将求和式化简：
$$\sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^3 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^4} \sum_{i=1}^n i^3.$$
公式：\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
提示：提取公因子时注意指数运算。
步骤 7/8
目标：应用立方和公式并求极限
由自然数立方和公式 $\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$，代入得
$$\frac{1}{n^4} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2.$$
取极限 $n \to \infty$，
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{4}.$$
公式：\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
提示：极限计算时注意 $(1+1/n)^2 \to 1$，不要遗漏平方。
步骤 8/8
目标：总结证明结果
因此，由定积分定义，$\int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4}$。
提示：定积分定义证明的关键是构造合适的黎曼和并求极限。
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