南京航空航天大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：转化已知条件
已知 $f(1)-2\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \,dx = 0$，移项得 $f(1) = 2\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \,dx$。
公式：$f(1) = 2\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \,dx$
提示：注意积分区间和系数，为后续构造辅助函数做准备。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数
要证明 $f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}$，等价于 $\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0$，而 $(x f(x))' = x f'(x) + f(x)$。因此令 $F(x) = x f(x)$，则需证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：$F(x) = x f(x)$，$F'(x) = x f'(x) + f(x)$
提示：构造辅助函数是微分中值定理类问题的常用技巧。
步骤 3/4
目标：利用积分中值定理找到等值点
由条件 $f(1) = 2\int_{0}^{1/2} x f(x) \,dx$，而 $\int_{0}^{1/2} x f(x) \,dx = \int_{0}^{1/2} F(x) \,dx$。由积分中值定理，存在 $c \in (0, 1/2)$ 使得 $\int_{0}^{1/2} F(x) \,dx = F(c) \cdot \frac{1}{2}$。代入得 $\frac{1}{2}F(c) = \frac{f(1)}{2}$，即 $F(c) = f(1)$。又 $F(1) = 1 \cdot f(1) = f(1)$，故 $F(c) = F(1)$。
公式：$\int_{0}^{1/2} F(x) \,dx = \frac{1}{2}F(c)$，$F(c) = F(1)$
提示：积分中值定理要求函数连续，这里 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（因为 $f$ 可微）。注意 $c$ 的范围是 $(0,1/2)$。
步骤 4/4
目标：应用Rolle定理得出结论
$F(x)$ 在 $[c,1]$ 上连续，在 $(c,1)$ 内可导，且 $F(c)=F(1)$，由Rolle定理，存在 $\xi \in (c,1) \subset (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0$，亦即 $f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}$。
公式：$F'(\xi)=0 \Rightarrow \xi f'(\xi)+f(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$
提示：Rolle定理的三个条件缺一不可：闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。
步骤 5/5
目标：还原结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$，证毕。
公式：$\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$
提示：注意 $\xi \in (0,1)$，分母不为零。
步骤 6/6
目标：推导结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。
公式：$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$
提示：注意 $\xi \in (0,1)$，分母不为0。
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