南京航空航天大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（1）$\displaystyle [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \geq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \geq(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-f(x)} \leq \frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1}[1-f(x)] \mathrm{d} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将条件转化为二重积分形式
由条件 $[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \ge 0$ 对任意 $x,y \in [a,b]$ 成立，考虑二重积分 $\int_a^b \int_a^b [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \, dx \, dy \ge 0$。展开被积函数：$[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] = f(x)g(x) - f(x)g(y) - f(y)g(x) + f(y)g(y)$。
公式：\int_a^b \int_a^b [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \, dx \, dy \ge 0
提示：注意二重积分区域是正方形，积分次序可交换。
步骤 2/7
目标：逐项计算二重积分
第一项：$\int_a^b \int_a^b f(x)g(x) \, dx \, dy = (b-a) \int_a^b f(x)g(x) \, dx$。第二项：$\int_a^b \int_a^b f(x)g(y) \, dx \, dy = \left(\int_a^b f(x) \, dx\right)\left(\int_a^b g(y) \, dy\right)$。第三项与第二项相等。第四项：$\int_a^b \int_a^b f(y)g(y) \, dx \, dy = (b-a) \int_a^b f(y)g(y) \, dy$，与第一项相同。
公式：\int_a^b \int_a^b f(x)g(x) \, dx \, dy = (b-a) \int_a^b f(x)g(x) \, dx
提示：注意区分变量，积分时视另一变量为常数。
步骤 3/7
目标：合并结果得到不等式
将四项相加得：$\int_a^b\int_a^b [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \, dx \, dy = 2(b-a)\int_a^b f(x)g(x) \, dx - 2\left(\int_a^b f(x) \, dx\right)\left(\int_a^b g(x) \, dx\right) \ge 0$。两边除以2即得：$\int_a^b f(x) \, dx \int_a^b g(x) \, dx \ge (b-a) \int_a^b f(x)g(x) \, dx$。
公式：\int_a^b f(x) \, dx \int_a^b g(x) \, dx \ge (b-a) \int_a^b f(x)g(x) \, dx
提示：注意二重积分非负性来源于被积函数非负。
步骤 4/7
目标：引入记号并转化第二问
设 $A = \int_0^1 f(x) \, dx$，$B = \int_0^1 [1-f(x)] \, dx = 1-A$，由 $f(x)<1$ 知 $B>0$。需证 $\int_0^1 \frac{f(x)}{1-f(x)} \, dx \le \frac{A}{B}$。考虑函数 $F(x) = \frac{f(x)}{1-f(x)}$，$G(x) = 1-f(x)$。
公式：B = \int_0^1 [1-f(x)] \, dx = 1-A
提示：隐含条件 $1-f(x)>0$ 保证分母有意义。
步骤 5/7
目标：验证第一问条件
计算 $[F(x)-F(y)][G(x)-G(y)]$：$G(x)-G(y) = -(f(x)-f(y))$，$F(x)-F(y) = \frac{f(x)-f(y)}{(1-f(x))(1-f(y))}$。乘积为 $-\frac{(f(x)-f(y))^2}{(1-f(x))(1-f(y))} \le 0$。因此取 $\tilde f(x) = -F(x)$，$g(x)=G(x)$，则 $[\tilde f(x)-\tilde f(y)][g(x)-g(y)] \ge 0$。
公式：[\tilde f(x)-\tilde f(y)][g(x)-g(y)] \ge 0
提示：注意符号处理，确保满足第一问条件。
步骤 6/7
目标：应用第一问结论
由第一问结论，$\int_0^1 \tilde f(x) \, dx \int_0^1 g(x) \, dx \ge (1-0) \int_0^1 \tilde f(x)g(x) \, dx$。代入 $\tilde f(x) = -\frac{f(x)}{1-f(x)}$，$g(x)=1-f(x)$，得：$\left(-\int_0^1 \frac{f}{1-f}\right) \cdot B \ge \int_0^1 \left(-\frac{f}{1-f}\right)(1-f) \, dx = -A$。
公式：\left(-\int_0^1 \frac{f}{1-f}\right) \cdot B \ge -A
提示：注意 $b-a=1$。
步骤 7/7
目标：化简得到最终不等式
不等式两边乘以 $-1$（不等号反向）得：$B \int_0^1 \frac{f}{1-f} \le A$。由于 $B>0$，两边除以 $B$ 即得：$\int_0^1 \frac{f(x)}{1-f(x)} \, dx \le \frac{A}{B} = \frac{\int_0^1 f(x) \, dx}{\int_0^1 [1-f(x)] \, dx}$。
公式：\int_0^1 \frac{f(x)}{1-f(x)} \, dx \le \frac{\int_0^1 f(x) \, dx}{\int_0^1 [1-f(x)] \, dx}
提示：注意除以 $B$ 时 $B>0$ 保证不等号方向不变。
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