哈尔滨工业大学 2021年数学分析第4题

题目给出无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，要求判断在三种不同条件下是否有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。三种条件分别是：$f(x)\geq 0$；$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续；$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

结论：不一定有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。反例：构造非负函数，在区间 $[n, n+\frac{1}{n^2}]$ 上为三角形脉冲，高度为 $n$，面积为 $\frac{1}{2n}$，但这样面积和发散。应改为高度为1，宽度为 $\frac{2}{n^2}$ 的等腰三角形，面积为 $\frac{1}{n^2}$，则积分收敛。具体地，定义 $$f(x)=\begin{cases} n^2(x-n), & x\in[n, n+\frac{1}{n^2}],\\ -n^2(x-n-\frac{2}{n^2}), & x\in[n+\frac{1}{n^2}, n+\frac{2}{n^2}],\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 每个脉冲面积为 $\frac{1}{n^2}$，总积分 $\sum \frac{1}{n^2}<\infty$，但 $f(n+\frac{1}{n^2})=1$，故 $\limsup f(x)=1$，极限不存在。

结论：不一定有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。反例：构造连续函数，在 $x=n$ 处取值为1，在 $[n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$ 上线性下降到0，其余为0。该函数连续，每个脉冲面积为 $\frac{1}{n^2}$，积分收敛，但 $f(n)=1$，故极限不存在。

结论：一定有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。证明：假设极限不为0，则存在 $\varepsilon_0>0$ 和数列 $x_n\to+\infty$，使得 $|f(x_n)|\geq \varepsilon_0$。由一致连续性，存在 $\delta>0$，当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon_0}{2}$。于是对每个 $x_n$，在区间 $[x_n, x_n+\delta]$ 上，$|f(x)|\geq \frac{\varepsilon_0}{2}$，从而 $\int_{x_n}^{x_n+\delta} |f(x)|\,dx \geq \frac{\varepsilon_0}{2}\delta$。由于 $x_n\to\infty$，这些区间互不相交（可适当选取子列），因此积分发散，与收敛矛盾。故极限必为0。

综上，(1)非负函数不一定；(2)连续函数不一定；(3)一致连续函数一定。关键在于一致连续性限制了函数在无穷远处的振荡幅度，使得若极限非零，则积分必发散。