哈尔滨工业大学 2021年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $D$ 为闭区域 $\displaystyle (\xi-x)^{2}+(\eta-y)^{2} \leqslant r^{2} . L$ 为 $D$ 的正向边㓷。设 $\displaystyle f(\xi, \eta)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的逢续函数。定义
$$
F(x, y)=\iint_{D} f(\xi, \eta) \mathrm{ds} .
$$
证明：
（1）$\displaystyle \partial F / \partial x=\int_{L} f d \eta, \partial F / \partial y=-\int_{L} f d \xi$ ；
（2）$\displaystyle \partial F / \partial x, \partial F / \partial y$ 关于 $\displaystyle x, y$ 途续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出F(x,y)的积分表达式
由定义，$F(x,y) = \iint_{D} f(\xi,\eta) \, d\xi d\eta$，其中 $D: (\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 \le r^2$。
提示：注意积分区域D依赖于参数x,y，且是圆盘。
步骤 2/6
目标：变量代换将积分区域变为固定圆盘
令 $u = \xi - x$, $v = \eta - y$，则 $D$ 变为 $u^2 + v^2 \le r^2$，且 $d\xi d\eta = du dv$，于是 $F(x,y) = \iint_{u^2+v^2 \le r^2} f(x+u, y+v) \, du dv$。
提示：代换后积分区域与x,y无关，便于求导。
步骤 3/6
目标：对x求偏导并交换积分与求导次序
由于$f$连续，可在积分号下求导：$\frac{\partial F}{\partial x} = \iint_{u^2+v^2 \le r^2} \frac{\partial}{\partial x} f(x+u, y+v) \, du dv = \iint_{u^2+v^2 \le r^2} \frac{\partial f}{\partial \xi}(x+u, y+v) \, du dv$。代回原变量得 $\frac{\partial F}{\partial x} = \iint_{D} \frac{\partial f}{\partial \xi}(\xi,\eta) \, d\xi d\eta$。
公式：莱布尼茨积分法则
提示：注意$\frac{\partial}{\partial x} f(x+u,y+v) = f_\xi \cdot 1$，因为$\xi = x+u$。
步骤 4/6
目标：利用格林公式将二重积分转化为曲线积分
由格林公式，$\iint_D \frac{\partial f}{\partial \xi} \, d\xi d\eta = \int_L f \, d\eta$，其中$L$是$D$的正向边界。因此 $\frac{\partial F}{\partial x} = \int_L f \, d\eta$。
公式：格林公式：$\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \, dxdy = \oint_L Pdx+Qdy$，这里取$P=0, Q=f$。
提示：注意格林公式中边界方向为正向（逆时针）。
步骤 5/6
目标：类似地对y求偏导
同理，$\frac{\partial F}{\partial y} = \iint_D \frac{\partial f}{\partial \eta} \, d\xi d\eta$。由格林公式，$\iint_D \frac{\partial f}{\partial \eta} \, d\xi d\eta = -\int_L f \, d\xi$（取$P=f, Q=0$）。因此 $\frac{\partial F}{\partial y} = -\int_L f \, d\xi$。
公式：格林公式：$\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \, dxdy = \oint_L Pdx+Qdy$，这里取$P=f, Q=0$。
提示：注意负号来自格林公式中$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$，这里$Q=0$，$P=f$，所以$\iint_D -\frac{\partial f}{\partial \eta} = \int_L f d\xi$，从而$\iint_D \frac{\partial f}{\partial \eta} = -\int_L f d\xi$。
步骤 6/6
目标：证明偏导数的连续性
由(1)知，$\frac{\partial F}{\partial x} = \int_L f \, d\eta$，$\frac{\partial F}{\partial y} = -\int_L f \, d\xi$。由于$f$连续，曲线积分作为参数$x,y$的函数是连续的（因为积分曲线$L$连续依赖于参数$x,y$，且被积函数连续）。因此$\frac{\partial F}{\partial x}$和$\frac{\partial F}{\partial y}$关于$x,y$连续。
提示：连续性依赖于$f$的连续性和积分区域的光滑依赖性。
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