太原理工大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连终，令 $\displaystyle \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1-x)^{n}, & 0 \leq x \leq 1 ; \\ (1+x)^{n}, & -1 \leq x \leq 0 .\end{array}\right.$ 证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入记号并计算归一化常数
令 $I_n = \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_n(x) \, dx$。首先计算 $\int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx$：
$$\int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx = \int_{-1}^{0} (1+x)^n \, dx + \int_{0}^{1} (1-x)^n \, dx = \int_{0}^{1} t^n \, dt + \int_{0}^{1} t^n \, dt = \frac{2}{n+1}.$$ 因此 $\frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx = 1$。
公式：$$\int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx = \frac{2}{n+1}$$
提示：注意换元时积分限的变化：令 $t=1+x$ 和 $t=1-x$，积分区间均变为 $[0,1]$。
步骤 2/6
目标：将目标极限转化为差值的积分
考虑 $I_n - f(0) = \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} [f(x) - f(0)] \varphi_n(x) \, dx$。由于 $\frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx = 1$，上式成立。
公式：$$I_n - f(0) = \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} [f(x)-f(0)] \varphi_n(x) \, dx$$
提示：利用归一化性质将常数 $f(0)$ 写成积分形式。
步骤 3/6
目标：利用连续性控制小区间
由于 $f$ 在 $x=0$ 连续，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x| < \delta$ 时，$|f(x)-f(0)| < \varepsilon$。将积分区间分为 $[-\delta, \delta]$、$[\delta, 1]$ 和 $[-1, -\delta]$。在 $[-\delta, \delta]$ 上，
$$\left| \frac{n+1}{2} \int_{-\delta}^{\delta} [f(x)-f(0)] \varphi_n(x) \, dx \right| \leq \varepsilon \cdot \frac{n+1}{2} \int_{-\delta}^{\delta} \varphi_n(x) \, dx \leq \varepsilon.$$
提示：注意 $\varphi_n(x) \geq 0$，且 $\frac{n+1}{2} \int_{-\delta}^{\delta} \varphi_n(x) \, dx \leq 1$。
步骤 4/6
目标：估计右端区间 $[\delta, 1]$ 上的积分
在 $[\delta, 1]$ 上，$\varphi_n(x) = (1-x)^n$，且 $0 \leq 1-x \leq 1-\delta$，故 $\varphi_n(x) \leq (1-\delta)^n$。令 $M = \max_{[-1,1]} |f(x)-f(0)|$，则
$$\left| \frac{n+1}{2} \int_{\delta}^{1} [f(x)-f(0)] \varphi_n(x) \, dx \right| \leq \frac{n+1}{2} \cdot 2M \cdot (1-\delta)^n \cdot (1-\delta) = M(n+1)(1-\delta)^{n+1}.$$
公式：$$\left| \frac{n+1}{2} \int_{\delta}^{1} [f(x)-f(0)] \varphi_n(x) \, dx \right| \leq M(n+1)(1-\delta)^{n+1}$$
提示：注意积分区间长度为 $1-\delta$，且 $\varphi_n(x)$ 在端点 $x=1$ 处为0，但上界估计时用最大值。
步骤 5/6
目标：估计左端区间 $[-1, -\delta]$ 上的积分
在 $[-1, -\delta]$ 上，$\varphi_n(x) = (1+x)^n$，且 $|x| \geq \delta$ 时 $1+x \leq 1-\delta$，类似可得
$$\left| \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{-\delta} [f(x)-f(0)] \varphi_n(x) \, dx \right| \leq M(n+1)(1-\delta)^{n+1}.$$
提示：对称性：左右两端估计相同。
步骤 6/6
目标：利用极限性质完成证明
由于 $\lim_{n\to\infty} (n+1)(1-\delta)^{n+1} = 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$M(n+1)(1-\delta)^{n+1} < \varepsilon$。因此，对任意 $\varepsilon > 0$，当 $n > N$ 时，
$$|I_n - f(0)| \leq \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon.$$ 即 $\lim_{n\to\infty} I_n = f(0)$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} (n+1)(1-\delta)^{n+1} = 0$$
提示：注意 $0<1-\delta<1$，指数衰减快于线性增长。
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