太原理工大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．计算曲线积分
$$
\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z .
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 与 $\displaystyle x-y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看是顺时针方向．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别曲线与方向
曲线 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=4$ 与平面 $x-y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看是顺时针方向。
提示：注意曲线方向：从 $z$ 轴正向看顺时针，即俯视时顺时针。
步骤 2/6
目标：写出向量场并计算旋度
令 $P=z-y$, $Q=x-z$, $R=x-y$。计算旋度：
$$
\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z-y & x-z & x-y
\end{vmatrix} = (0,0,2).
$$
公式：旋度公式：$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
提示：计算偏导数时注意符号，例如 $\frac{\partial P}{\partial y} = -1$。
步骤 3/6
目标：应用斯托克斯公式
取曲面 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=1$ 上被柱面 $x^2+y^2=4$ 截下的部分。取 $\Sigma$ 的法向量向上（即 $(1,-1,1)$ 方向），此时 $L$ 的方向为逆时针（从 $z$ 轴正向看）。由于题目要求顺时针，故在斯托克斯公式中加负号：
$$
\oint_{L} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z = -\iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} \mathrm{d}S.
$$
公式：斯托克斯公式：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：符号由右手定则决定：法向量向上对应逆时针，顺时针需加负号。
步骤 4/6
目标：计算被积函数
计算 $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}$。$\nabla \times \mathbf{F} = (0,0,2)$，$\mathbf{n}$ 为 $\Sigma$ 的单位法向量，取向上：$\mathbf{n} = \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{3}}$。则
$$
(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = (0,0,2)\cdot \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
$$
公式：点积公式：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
提示：注意法向量要单位化。
步骤 5/6
目标：计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} \mathrm{d}S = \frac{2}{\sqrt{3}} \iint_{\Sigma} \mathrm{d}S = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \text{面积}(\Sigma).
$$
$\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影是圆 $x^2+y^2 \leq 4$，面积为 $4\pi$。平面法向量与 $z$ 轴夹角余弦的绝对值为 $|\cos\gamma| = \frac{1}{\sqrt{3}}$。由投影面积公式：
$$
\text{面积}(\Sigma) = \frac{\text{投影面积}}{|\cos\gamma|} = \frac{4\pi}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\pi.
$$
因此
$$
\iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} \mathrm{d}S = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 4\sqrt{3}\pi = 8\pi.
$$
公式：投影面积公式：$\text{面积}(\Sigma) = \frac{\text{投影面积}}{|\cos\gamma|}$，其中 $\gamma$ 是平面法向量与 $z$ 轴的夹角。
提示：注意投影面积是圆面积 $4\pi$，不要误算为椭圆面积。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原曲线积分为顺时针方向，故取负号：
$$
\oint_{L} (z-y) \mathrm{d}x+(x-z) \mathrm{d}y+(x-y) \mathrm{d}z = -8\pi.
$$
提示：最终答案要加上负号，注意方向。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。