安徽师范大学 2021年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 （ $\displaystyle -\infty,+\infty$ ）内有界．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：根据已知条件设定界
由于 $f(x)$ 和 $f''(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界，存在常数 $M_0>0$ 和 $M_2>0$，使得对任意 $x\in(-\infty,+\infty)$，有 $|f(x)|\leq M_0$，$|f''(x)|\leq M_2$。
提示：注意有界性的定义：存在常数使得绝对值不超过该常数。
步骤 2/7
目标：应用泰勒公式展开
对任意 $x\in(-\infty,+\infty)$ 和 $h>0$，由泰勒公式，存在 $\xi\in(x,x+h)$ 使得 $$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(\xi)h^2.$$
公式：泰勒公式：$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(\xi)h^2$
提示：注意泰勒公式的余项是拉格朗日型余项，$\xi$ 介于 $x$ 和 $x+h$ 之间。
步骤 3/7
目标：解出 f'(x) 的表达式
将泰勒公式变形，解出 $f'(x)$：$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{1}{2}f''(\xi)h.$$
提示：移项时注意符号。
步骤 4/7
目标：利用三角不等式放缩
取绝对值并利用三角不等式：$$|f'(x)|\leq\frac{|f(x+h)|+|f(x)|}{h}+\frac{1}{2}|f''(\xi)|h\leq\frac{2M_0}{h}+\frac{M_2}{2}h.$$
公式：三角不等式：$|a+b|\leq|a|+|b|$
提示：注意 $|f(x+h)|$ 和 $|f(x)|$ 均不超过 $M_0$，$|f''(\xi)|$ 不超过 $M_2$。
步骤 5/7
目标：选择最优的 h 值
考虑函数 $\phi(h)=\frac{2M_0}{h}+\frac{M_2}{2}h$，求导得 $\phi'(h)=-\frac{2M_0}{h^2}+\frac{M_2}{2}$，令其为零解得 $h=2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}$（若 $M_2=0$，则 $f''(x)\equiv0$，$f'(x)$ 为常数，显然有界）。
公式：极值条件：$\phi'(h)=0$
提示：注意 $M_2=0$ 的特殊情况需单独处理。
步骤 6/7
目标：代入 h 得到上界
将 $h=2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}$ 代入不等式：$$|f'(x)|\leq\frac{2M_0}{2\sqrt{M_0/M_2}}+\frac{M_2}{2}\cdot2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}=\sqrt{M_0M_2}+\sqrt{M_0M_2}=2\sqrt{M_0M_2}.$$
提示：计算时注意化简，$\frac{2M_0}{h}=M_0/\sqrt{M_0/M_2}=\sqrt{M_0M_2}$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，对任意 $x\in(-\infty,+\infty)$，$|f'(x)|\leq 2\sqrt{M_0M_2}$，即 $f'(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界。
提示：注意有界性要求存在一个与 $x$ 无关的常数。
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