安徽师范大学 2021年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}$ ，
（1）若 $\displaystyle u=f(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \Delta u=f^{n}(r)+\frac{n-1}{r} f^{\prime}(r)(r \neq 0)$ ．（10 分）
（2）$\displaystyle \Delta\left(r^{2-n}\right)=0(r \neq 0, n \geq 3)$ ．（5 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算一阶偏导数
设 $u = f(r)$，其中 $r = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$。对 $x_i$ 求偏导：
$$\frac{\partial u}{\partial x_i} = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x_i} = f'(r) \frac{x_i}{r}.$$
公式：$\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}$
提示：注意 $r$ 是 $x_i$ 的函数，求导时需使用链式法则。
步骤 2/8
目标：计算二阶偏导数
对一阶偏导再次求导：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( f'(r) \frac{x_i}{r} \right) = f''(r) \left( \frac{x_i}{r} \right)^2 + f'(r) \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{x_i}{r} \right).$$
公式：乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
提示：注意 $f'(r)$ 也是 $r$ 的函数，求导时需再次使用链式法则。
步骤 3/8
目标：计算 $\frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{x_i}{r} \right)$
计算：
$$\frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{x_i}{r} \right) = \frac{1}{r} - \frac{x_i}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3}.$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{x_i}{r} \right) = \frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3}$
提示：注意商法则或直接求导，避免符号错误。
步骤 4/8
目标：代入二阶偏导表达式
将上一步结果代入：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f''(r) \frac{x_i^2}{r^2} + f'(r) \left( \frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3} \right).$$
提示：确保每一项都正确代入。
步骤 5/8
目标：对所有 $i$ 求和得到拉普拉斯算子
求和：
$$\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f''(r) \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{r^2} + f'(r) \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3} \right).$$
公式：$\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}$
提示：注意求和符号的正确使用。
步骤 6/8
目标：简化求和结果
由于 $\sum_{i=1}^n x_i^2 = r^2$，所以 $\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{r^2} = 1$，$\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{r^3} = \frac{1}{r}$。因此：
$$\Delta u = f''(r) \cdot 1 + f'(r) \left( \frac{n}{r} - \frac{1}{r} \right) = f''(r) + \frac{n-1}{r} f'(r).$$
公式：$\sum_{i=1}^n x_i^2 = r^2$
提示：注意 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{r} = \frac{n}{r}$。
步骤 7/8
目标：证明 $\Delta(r^{2-n}) = 0$
令 $f(r) = r^{2-n}$，则 $f'(r) = (2-n) r^{1-n}$，$f''(r) = (2-n)(1-n) r^{-n}$。代入（1）公式：
$$\Delta u = f''(r) + \frac{n-1}{r} f'(r) = (2-n)(1-n) r^{-n} + \frac{n-1}{r} (2-n) r^{1-n}.$$
公式：$f'(r) = (2-n) r^{1-n}$，$f''(r) = (2-n)(1-n) r^{-n}$
提示：注意幂函数求导公式，指数为负数时小心符号。
步骤 8/8
目标：化简并得出结论
化简第二项：$\frac{n-1}{r} (2-n) r^{1-n} = (n-1)(2-n) r^{-n}$。因此：
$$\Delta u = (2-n)(1-n) r^{-n} + (n-1)(2-n) r^{-n} = (2-n)(1-n + n-1) r^{-n} = 0.$$
提示：合并同类项时注意系数相加为零。
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