山东大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且
$$
f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}, t>0
$$
求 $\displaystyle f(t)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将二重积分化为极坐标形式
积分区域为 $x^2+y^2 \le t^2$，在极坐标下令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，$r$ 从 $0$ 到 $t$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。原二重积分化为：
$$\iint_{x^2+y^2 \le t^2} (x^2+y^2) f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^t r^2 f(r) \cdot r \mathrm{d}r = 2\pi \int_0^t r^3 f(r) \mathrm{d}r$$
公式：$$\iint_{x^2+y^2 \le t^2} (x^2+y^2) f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\pi \int_0^t r^3 f(r) \mathrm{d}r$$
提示：注意极坐标下 $x^2+y^2 = r^2$，面积元多一个 $r$，因此被积函数为 $r^3 f(r)$，不要遗漏 $r$ 因子。
步骤 2/4
目标：代入原方程并转化为微分方程
将极坐标结果代入原方程 $f(t) = \iint_{x^2+y^2 \le t^2} (x^2+y^2) f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y + t^4$，得：
$$f(t) = 2\pi \int_0^t r^3 f(r) \mathrm{d}r + t^4$$
两边对 $t$ 求导，左边导数为 $f'(t)$，右边利用微积分基本定理：第一项导数为 $2\pi t^3 f(t)$，第二项导数为 $4t^3$，得到微分方程：
$$f'(t) = 2\pi t^3 f(t) + 4t^3$$
公式：$$f'(t) = 2\pi t^3 f(t) + 4t^3$$
提示：对积分上限求导时，注意被积函数中的变量 $r$ 在上限处取值为 $t$，且积分变量与求导变量不同，不要混淆。
步骤 3/4
目标：解一阶线性微分方程
将微分方程写为标准形式：$f'(t) - 2\pi t^3 f(t) = 4t^3$。计算积分因子：
$$\mu(t) = \exp\left( \int -2\pi t^3 \mathrm{d}t \right) = \exp\left( -\frac{\pi}{2} t^4 \right)$$
两边乘以积分因子：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ f(t) e^{-\frac{\pi}{2}t^4} \right] = 4t^3 e^{-\frac{\pi}{2}t^4}$$
两边对 $t$ 积分：
$$f(t) e^{-\frac{\pi}{2}t^4} = \int 4t^3 e^{-\frac{\pi}{2}t^4} \mathrm{d}t + C$$
令 $u = -\frac{\pi}{2}t^4$，则 $\mathrm{d}u = -2\pi t^3 \mathrm{d}t$，$4t^3 \mathrm{d}t = -\frac{2}{\pi} \mathrm{d}u$，积分得：
$$\int 4t^3 e^{-\frac{\pi}{2}t^4} \mathrm{d}t = -\frac{2}{\pi} e^{-\frac{\pi}{2}t^4} + C$$
因此：
$$f(t) e^{-\frac{\pi}{2}t^4} = -\frac{2}{\pi} e^{-\frac{\pi}{2}t^4} + C$$
两边乘以 $e^{\frac{\pi}{2}t^4}$ 得通解：
$$f(t) = -\frac{2}{\pi} + C e^{\frac{\pi}{2}t^4}$$
公式：$$f(t) = -\frac{2}{\pi} + C e^{\frac{\pi}{2}t^4}$$
提示：积分因子法关键步骤是正确计算指数积分，注意 $\int t^3 \mathrm{d}t = \frac{t^4}{4}$，系数不要算错。换元积分时注意微分关系。
步骤 4/4
目标：利用初始条件确定常数并得到最终函数
在原方程中令 $t=0$，左边 $f(0)$，右边积分区域退化为点，积分为 $0$，且 $t^4=0$，所以 $f(0)=0$。代入通解：
$$0 = -\frac{2}{\pi} + C \cdot e^{0} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{2}{\pi}$$
因此：
$$f(t) = -\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} e^{\frac{\pi}{2}t^4} = \frac{2}{\pi}\left( e^{\frac{\pi}{2}t^4} - 1 \right)$$
公式：$$f(t) = \frac{2}{\pi}\left( e^{\frac{\pi}{2}t^4} - 1 \right)$$
提示：初始条件 $f(0)=0$ 由原方程直接得到，注意 $t=0$ 时积分区域退化为点，积分值为0，不要遗漏。
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