山西师范大学 2024年数学分析第12题

12．$\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，则当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也无零点，且有 $\displaystyle \frac{1}{f_{n}(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．