山西师范大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．$\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{|t|} \ln |t| d t$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆微积分基本定理
若 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 且 $f(t)$ 在 $x$ 处连续，则 $F'(x)=f(x)$。本题中 $f(t)=\sqrt{|t|}\ln|t|$，需注意 $t=0$ 处的奇异性。
公式：$F'(x)=f(x)$
提示：积分下限为常数，上限为变量 $x$ 时可直接应用定理。
步骤 2/5
目标：分区间讨论被积函数形式
由于被积函数含绝对值，需分 $x>0$ 和 $x<0$ 讨论：
- 当 $x>0$ 时，在 $x$ 附近 $t>0$，$|t|=t$，故 $f(t)=\sqrt{t}\ln t$。
- 当 $x<0$ 时，在 $x$ 附近 $t<0$，$|t|=-t$，故 $f(t)=\sqrt{-t}\ln(-t)$。
公式：$f(t)=\begin{cases}\sqrt{t}\ln t,&t>0\\\sqrt{-t}\ln(-t),&t<0\end{cases}$
提示：注意 $\ln(-t)$ 中 $-t>0$，定义良好。
步骤 3/5
目标：应用微积分基本定理求 $x\neq0$ 时的导数
由微积分基本定理，当 $x>0$ 时 $F'(x)=\sqrt{x}\ln x$；当 $x<0$ 时 $F'(x)=\sqrt{-x}\ln(-x)$。
公式：$F'(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\ln x,&x>0\\\sqrt{-x}\ln(-x),&x<0\end{cases}$
提示：直接代入 $f(x)$ 即可，无需积分。
步骤 4/5
目标：单独处理 $x=0$ 处的导数
用导数定义：$F'(0)=\lim_{h\to0}\frac{F(h)-F(0)}{h}$。
$F(0)=\int_{-1}^0\sqrt{|t|}\ln|t|\,dt$ 为常数。
对 $h>0$ 小量，$F(h)-F(0)=\int_0^h\sqrt{t}\ln t\,dt$。
计算原函数：$\int\sqrt{t}\ln t\,dt=\frac{2}{3}t^{3/2}\ln t-\frac{4}{9}t^{3/2}+C$，代入上下限得 $F(h)-F(0)=\frac{2}{3}h^{3/2}\ln h-\frac{4}{9}h^{3/2}$。
则 $\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{2}{3}h^{1/2}\ln h-\frac{4}{9}h^{1/2}\to0$（$h\to0^+$）。
类似地，$h<0$ 时极限也为 $0$，故 $F'(0)=0$。
公式：$F'(0)=\lim_{h\to0}\frac{F(h)-F(0)}{h}=0$
提示：注意 $t^{3/2}\ln t\to0$ 当 $t\to0^+$，因此下限代入为 $0$。
步骤 5/5
目标：统一结果并写出最终答案
综合各区间，$F'(x)=\sqrt{|x|}\ln|x|$ 对 $x\neq0$ 成立，且 $F'(0)=0$。由于 $\lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\ln|x|=0$，可连续延拓，故最终答案对所有实数 $x$ 成立。
公式：$F'(x)=\sqrt{|x|}\ln|x|$（$x=0$ 时值为 $0$）
提示：最终表达式简洁统一，注意 $x=0$ 处需理解为极限值。
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