山西师范大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对原方程两边关于x求偏导，得到z_x的表达式
原方程：$y^2 + f(x^2, z) = 1$。对x求偏导，视y为常数，利用链式法则：
$\frac{\partial}{\partial x}[y^2] + \frac{\partial}{\partial x}[f(x^2, z)] = 0$。
第一项为0，第二项：$f_u \cdot 2x + f_v \cdot z_x = 0$。
解得：$z_x = -\frac{2x f_u}{f_v}$，其中$f_u, f_v$在点$(x^2, z)$处取值。
公式：$z_x = -\frac{2x f_u}{f_v}$
提示：注意f的第一个变量是x^2，对x求导时需乘以2x；f_v是f对第二个变量z的偏导，z是x,y的函数。
步骤 2/5
目标：对原方程两边关于y求偏导，得到z_y的表达式
对y求偏导，视x为常数：
$\frac{\partial}{\partial y}[y^2] + \frac{\partial}{\partial y}[f(x^2, z)] = 0$。
第一项为$2y$，第二项中x^2对y为常数，故$f_v \cdot z_y = -2y$。
解得：$z_y = -\frac{2y}{f_v}$。
公式：$z_y = -\frac{2y}{f_v}$
提示：f_u不出现是因为x^2对y的偏导为0。
步骤 3/5
目标：对z_x关于y求偏导，得到z_xy的表达式框架
由$z_x = -\frac{2x f_u}{f_v}$，对y求偏导（x视为常数）：
$z_{xy} = -2x \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f_u}{f_v}\right)$。
应用商法则：$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f_u}{f_v}\right) = \frac{f_v \cdot \frac{\partial f_u}{\partial y} - f_u \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}}{f_v^2}$。
公式：$z_{xy} = -2x \cdot \frac{f_v \cdot \frac{\partial f_u}{\partial y} - f_u \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}}{f_v^2}$
提示：f_u和f_v通过z依赖于y，因此需用链式法则求其对y的偏导。
步骤 4/5
目标：计算f_u和f_v对y的偏导数
由于$f_u = f_u(x^2, z(x,y))$，$f_v = f_v(x^2, z(x,y))$，且f具有二阶连续偏导，有：
$\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 0 + f_{uv} \cdot z_y = f_{uv} \cdot z_y$，
$\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 0 + f_{vv} \cdot z_y = f_{vv} \cdot z_y$。
代入$z_y = -\frac{2y}{f_v}$得：
$\frac{\partial f_u}{\partial y} = -\frac{2y f_{uv}}{f_v}$，
$\frac{\partial f_v}{\partial y} = -\frac{2y f_{vv}}{f_v}$。
公式：$\frac{\partial f_u}{\partial y} = -\frac{2y f_{uv}}{f_v}, \quad \frac{\partial f_v}{\partial y} = -\frac{2y f_{vv}}{f_v}$
提示：由连续性保证$f_{uv}=f_{vu}$。
步骤 5/5
目标：代入商法则并化简，得到z_xy的表达式
将$\frac{\partial f_u}{\partial y}$和$\frac{\partial f_v}{\partial y}$代入商法则：
分子 = $f_v \cdot \left(-\frac{2y f_{uv}}{f_v}\right) - f_u \cdot \left(-\frac{2y f_{vv}}{f_v}\right) = -2y f_{uv} + \frac{2y f_u f_{vv}}{f_v}$。
分母为$f_v^2$，故
$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f_u}{f_v}\right) = \frac{-2y f_{uv}}{f_v^2} + \frac{2y f_u f_{vv}}{f_v^3}$。
代入$z_{xy} = -2x \cdot \left( \frac{-2y f_{uv}}{f_v^2} + \frac{2y f_u f_{vv}}{f_v^3} \right)$，得：
$z_{xy} = \frac{4xy f_{uv}}{f_v^2} - \frac{4xy f_u f_{vv}}{f_v^3}$。
通分后：$z_{xy} = \frac{4xy (f_{uv} f_v - f_u f_{vv})}{f_v^3}$。
公式：$z_{xy} = \frac{4xy (f_{uv} f_v - f_u f_{vv})}{f_v^3}$
提示：注意符号处理，最终结果可写成公分母形式。
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