山西师范大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
定义函数 $g(x) = f\left(x + \frac{1}{2}\right) - f(x)$，其中 $x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故 $g$ 在 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上连续。
公式：g(x) = f\left(x + \frac{1}{2}\right) - f(x)
提示：注意定义域的选择：当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时，$x+\frac{1}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$，确保函数有意义。
步骤 2/4
目标：计算端点函数值
计算 $g(0)$ 和 $g\left(\frac{1}{2}\right)$：
$g(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)$，
$g\left(\frac{1}{2}\right) = f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right)$。
由已知条件 $f(0) = f(1)$，得 $g\left(\frac{1}{2}\right) = f(0) - f\left(\frac{1}{2}\right) = -g(0)$。
公式：g\left(\frac{1}{2}\right) = -g(0)
提示：注意利用 $f(0)=f(1)$ 这一关键条件。
步骤 3/4
目标：分类讨论并应用零点定理
若 $g(0)=0$，则取 $x_0=0$，有 $f(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)$，结论成立。
若 $g(0) \neq 0$，则 $g(0)$ 与 $g\left(\frac{1}{2}\right)$ 异号。由连续函数的零点定理，存在 $x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ 使得 $g(x_0)=0$，即 $f\left(x_0+\frac{1}{2}\right)=f(x_0)$。
公式：g(x_0)=0 \Rightarrow f\left(x_0+\frac{1}{2}\right)=f(x_0)
提示：零点定理要求函数在闭区间连续且端点值异号，这里 $g(0)$ 和 $g(\frac{1}{2})$ 互为相反数，满足条件。
步骤 4/4
目标：得出结论
综合两种情况，总存在 $x_0 \in \left[0, \frac{1}{2}\right] \subset [0,1]$ 使得 $f(x_0)=f\left(x_0+\frac{1}{2}\right)$。
公式：\exists x_0 \in [0,1],\; f(x_0)=f\left(x_0+\frac{1}{2}\right)
提示：注意 $x_0$ 的取值范围包含端点，结论成立。
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